Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13301 / 23503
↖ ↑ ↗
← S 61.349346°
W 33.870850°		 ← 585.74 m → S 61.349346°
W 33.859863°		 →
↑
585.69 m
↓
↑
585.69 m
↓
S 61.354614°
W 33.870850°		 ← 585.64 m →
343 029 m²		 S 61.354614°
W 33.859863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405929565429688 y=0.717269897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405929565429688 × 215)
    floor (0.405929565429688 × 32768)
    floor (13301.5)     		tx = 13301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717269897460938 × 215)
    floor (0.717269897460938 × 32768)
    floor (23503.5)     		ty = 23503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13301 / 23503 ti = "15/13301/23503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13301/23503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13301 ÷ 215
    13301 ÷ 32768     		x = 0.405914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23503 ÷ 215
    23503 ÷ 32768     		y = 0.717254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405914306640625 × 2 - 1) × π
    -0.18817138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59115785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.43450927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36505115358072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59115785} λ = -0.59115785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36505115358072))-π/2
    2×atan(0.255367612686175)-π/2
    2×0.250024118774925-π/2
    0.500048237549849-1.57079632675     		φ = -1.07074809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59115785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.870850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07074809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.349346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13301 KachelY 23503 -0.59115785 -1.07074809 -33.870850 -61.349346
    Oben rechts KachelX + 1 13302 KachelY 23503 -0.59096610 -1.07074809 -33.859863 -61.349346
    Unten links KachelX 13301 KachelY + 1 23504 -0.59115785 -1.07084002 -33.870850 -61.354614
    Unten rechts KachelX + 1 13302 KachelY + 1 23504 -0.59096610 -1.07084002 -33.859863 -61.354614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07074809--1.07084002) × R
    9.19299999999623e-05 × 6371000     		dl = 585.68602999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07074809--1.07084002) × R
    9.19299999999623e-05 × 6371000     		dr = 585.68602999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59115785--0.59096610) × cos(-1.07074809) × R
    0.000191749999999935 × 0.479467869816468 × 6371000     		do = 585.73676888149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59115785--0.59096610) × cos(-1.07084002) × R
    0.000191749999999935 × 0.479387193751709 × 6371000     		du = 585.638211834244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07074809)-sin(-1.07084002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479467869816468-0.479387193751709)×R²
    abs(-0.59096610--0.59115785)×8.06760647597549e-05×R²
    0.000191749999999935×8.06760647597549e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.06760647597549e-05×40589641000000     		ar = 343028.98128996m²