Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13300 / 23545
↖ ↑ ↗
← S 61.569805°
W 33.881836°		 ← 581.58 m → S 61.569805°
W 33.870850°		 →
↑
581.54 m
↓
↑
581.54 m
↓
S 61.575035°
W 33.881836°		 ← 581.48 m →
338 185 m²		 S 61.575035°
W 33.870850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405899047851562 y=0.718551635742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405899047851562 × 215)
    floor (0.405899047851562 × 32768)
    floor (13300.5)     		tx = 13300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718551635742188 × 215)
    floor (0.718551635742188 × 32768)
    floor (23545.5)     		ty = 23545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13300 / 23545 ti = "15/13300/23545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13300/23545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13300 ÷ 215
    13300 ÷ 32768     		x = 0.4058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23545 ÷ 215
    23545 ÷ 32768     		y = 0.718536376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718536376953125 × 2 - 1) × π
    -0.43707275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37310455271689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59134959} λ = -0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37310455271689))-π/2
    2×atan(0.253319294407766)-π/2
    2×0.248100256777894-π/2
    0.496200513555789-1.57079632675     		φ = -1.07459581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07459581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.569805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13300 KachelY 23545 -0.59134959 -1.07459581 -33.881836 -61.569805
    Oben rechts KachelX + 1 13301 KachelY 23545 -0.59115785 -1.07459581 -33.870850 -61.569805
    Unten links KachelX 13300 KachelY + 1 23546 -0.59134959 -1.07468709 -33.881836 -61.575035
    Unten rechts KachelX + 1 13301 KachelY + 1 23546 -0.59115785 -1.07468709 -33.870850 -61.575035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07459581--1.07468709) × R
    9.12800000001379e-05 × 6371000     		dl = 581.544880000879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07459581--1.07468709) × R
    9.12800000001379e-05 × 6371000     		dr = 581.544880000879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59134959--0.59115785) × cos(-1.07459581) × R
    0.000191739999999996 × 0.47608772591493 × 6371000     		do = 581.57712087189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59134959--0.59115785) × cos(-1.07468709) × R
    0.000191739999999996 × 0.476007452501163 × 6371000     		du = 581.47906083312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07459581)-sin(-1.07468709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47608772591493-0.476007452501163)×R²
    abs(-0.59115785--0.59134959)×8.02734137672068e-05×R²
    0.000191739999999996×8.02734137672068e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.02734137672068e-05×40589641000000     		ar = 338184.684047007m²