Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13300 / 23538
↖ ↑ ↗
← S 61.533170°
W 33.881836°		 ← 582.26 m → S 61.533170°
W 33.870850°		 →
↑
582.18 m
↓
↑
582.18 m
↓
S 61.538406°
W 33.881836°		 ← 582.17 m →
338 955 m²		 S 61.538406°
W 33.870850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405899047851562 y=0.718338012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405899047851562 × 215)
    floor (0.405899047851562 × 32768)
    floor (13300.5)     		tx = 13300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718338012695312 × 215)
    floor (0.718338012695312 × 32768)
    floor (23538.5)     		ty = 23538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13300 / 23538 ti = "15/13300/23538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13300/23538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13300 ÷ 215
    13300 ÷ 32768     		x = 0.4058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23538 ÷ 215
    23538 ÷ 32768     		y = 0.71832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.4366455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37176231952753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59134959} λ = -0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37176231952753))-π/2
    2×atan(0.2536595362631)-π/2
    2×0.248419955769942-π/2
    0.496839911539884-1.57079632675     		φ = -1.07395642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07395642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.533170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13300 KachelY 23538 -0.59134959 -1.07395642 -33.881836 -61.533170
    Oben rechts KachelX + 1 13301 KachelY 23538 -0.59115785 -1.07395642 -33.870850 -61.533170
    Unten links KachelX 13300 KachelY + 1 23539 -0.59134959 -1.07404780 -33.881836 -61.538406
    Unten rechts KachelX + 1 13301 KachelY + 1 23539 -0.59115785 -1.07404780 -33.870850 -61.538406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07395642--1.07404780) × R
    9.13799999999743e-05 × 6371000     		dl = 582.181979999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07395642--1.07404780) × R
    9.13799999999743e-05 × 6371000     		dr = 582.181979999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59134959--0.59115785) × cos(-1.07395642) × R
    0.000191739999999996 × 0.476649906714098 × 6371000     		do = 582.263867185211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59134959--0.59115785) × cos(-1.07404780) × R
    0.000191739999999996 × 0.476569573186877 × 6371000     		du = 582.165733713316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07395642)-sin(-1.07404780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476649906714098-0.476569573186877)×R²
    abs(-0.59115785--0.59134959)×8.03335272212546e-05×R²
    0.000191739999999996×8.03335272212546e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.03335272212546e-05×40589641000000     		ar = 338954.965545897m²