Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13300 / 23524
↖ ↑ ↗
← S 61.459770°
W 33.881836°		 ← 583.64 m → S 61.459770°
W 33.870850°		 →
↑
583.65 m
↓
↑
583.65 m
↓
S 61.465019°
W 33.881836°		 ← 583.54 m →
340 611 m²		 S 61.465019°
W 33.870850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405899047851562 y=0.717910766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405899047851562 × 215)
    floor (0.405899047851562 × 32768)
    floor (13300.5)     		tx = 13300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717910766601562 × 215)
    floor (0.717910766601562 × 32768)
    floor (23524.5)     		ty = 23524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13300 / 23524 ti = "15/13300/23524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13300/23524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13300 ÷ 215
    13300 ÷ 32768     		x = 0.4058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23524 ÷ 215
    23524 ÷ 32768     		y = 0.7178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7178955078125 × 2 - 1) × π
    -0.435791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.3690778531488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59134959} λ = -0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3690778531488))-π/2
    2×atan(0.254341391559175)-π/2
    2×0.249060486420794-π/2
    0.498120972841588-1.57079632675     		φ = -1.07267535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07267535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.459770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13300 KachelY 23524 -0.59134959 -1.07267535 -33.881836 -61.459770
    Oben rechts KachelX + 1 13301 KachelY 23524 -0.59115785 -1.07267535 -33.870850 -61.459770
    Unten links KachelX 13300 KachelY + 1 23525 -0.59134959 -1.07276696 -33.881836 -61.465019
    Unten rechts KachelX + 1 13301 KachelY + 1 23525 -0.59115785 -1.07276696 -33.870850 -61.465019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07267535--1.07276696) × R
    9.16100000001308e-05 × 6371000     		dl = 583.647310000833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07267535--1.07276696) × R
    9.16100000001308e-05 × 6371000     		dr = 583.647310000833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59134959--0.59115785) × cos(-1.07267535) × R
    0.000191739999999996 × 0.477775695215991 × 6371000     		do = 583.639102882337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59134959--0.59115785) × cos(-1.07276696) × R
    0.000191739999999996 × 0.477695215487718 × 6371000     		du = 583.540790814813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07267535)-sin(-1.07276696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477775695215991-0.477695215487718)×R²
    abs(-0.59115785--0.59134959)×8.04797282726311e-05×R²
    0.000191739999999996×8.04797282726311e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.04797282726311e-05×40589641000000     		ar = 340610.702859692m²