Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13300 / 21548
↖ ↑ ↗
← S 49.239121°
W 33.881836°		 ← 797.57 m → S 49.239121°
W 33.870850°		 →
↑
797.52 m
↓
↑
797.52 m
↓
S 49.246293°
W 33.881836°		 ← 797.46 m →
636 034 m²		 S 49.246293°
W 33.870850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405899047851562 y=0.657608032226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405899047851562 × 215)
    floor (0.405899047851562 × 32768)
    floor (13300.5)     		tx = 13300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657608032226562 × 215)
    floor (0.657608032226562 × 32768)
    floor (21548.5)     		ty = 21548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13300 / 21548 ti = "15/13300/21548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13300/21548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13300 ÷ 215
    13300 ÷ 32768     		x = 0.4058837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21548 ÷ 215
    21548 ÷ 32768     		y = 0.6575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.188232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59134959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.315185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.99018459855188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59134959} λ = -0.59134959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99018459855188))-π/2
    2×atan(0.371508104833621)-π/2
    2×0.355705773749747-π/2
    0.711411547499495-1.57079632675     		φ = -0.85938478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59134959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.881836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85938478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.239121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13300 KachelY 21548 -0.59134959 -0.85938478 -33.881836 -49.239121
    Oben rechts KachelX + 1 13301 KachelY 21548 -0.59115785 -0.85938478 -33.870850 -49.239121
    Unten links KachelX 13300 KachelY + 1 21549 -0.59134959 -0.85950996 -33.881836 -49.246293
    Unten rechts KachelX + 1 13301 KachelY + 1 21549 -0.59115785 -0.85950996 -33.870850 -49.246293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85938478--0.85950996) × R
    0.000125180000000058 × 6371000     		dl = 797.52178000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85938478--0.85950996) × R
    0.000125180000000058 × 6371000     		dr = 797.52178000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59134959--0.59115785) × cos(-0.85938478) × R
    0.000191739999999996 × 0.652903584563817 × 6371000     		do = 797.571048881463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59134959--0.59115785) × cos(-0.85950996) × R
    0.000191739999999996 × 0.652808762980805 × 6371000     		du = 797.455217154991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85938478)-sin(-0.85950996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652903584563817-0.652808762980805)×R²
    abs(-0.59115785--0.59134959)×9.48215830125498e-05×R²
    0.000191739999999996×9.48215830125498e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.48215830125498e-05×40589641000000     		ar = 636034.094248933m²