Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1330 / 2866
↖ ↑ ↗
← S 58.170703°
W 63.105469°		 ← 5 154.21 m → S 58.170703°
W 63.017578°		 →
↑
5 150.83 m
↓
↑
5 150.83 m
↓
S 58.217025°
W 63.105469°		 ← 5 147.50 m →
26 531 158 m²		 S 58.217025°
W 63.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3248291015625 y=0.6998291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3248291015625 × 212)
    floor (0.3248291015625 × 4096)
    floor (1330.5)     		tx = 1330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6998291015625 × 212)
    floor (0.6998291015625 × 4096)
    floor (2866.5)     		ty = 2866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1330 / 2866 ti = "12/1330/2866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1330/2866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1330 ÷ 212
    1330 ÷ 4096     		x = 0.32470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2866 ÷ 212
    2866 ÷ 4096     		y = 0.69970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32470703125 × 2 - 1) × π
    -0.3505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10139821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69970703125 × 2 - 1) × π
    -0.3994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25479628445459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10139821} λ = -1.10139821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25479628445459))-π/2
    2×atan(0.285133928522087)-π/2
    2×0.277763020139468-π/2
    0.555526040278937-1.57079632675     		φ = -1.01527029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10139821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.105469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01527029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.170703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1330 KachelY 2866 -1.10139821 -1.01527029 -63.105469 -58.170703
    Oben rechts KachelX + 1 1331 KachelY 2866 -1.09986422 -1.01527029 -63.017578 -58.170703
    Unten links KachelX 1330 KachelY + 1 2867 -1.10139821 -1.01607877 -63.105469 -58.217025
    Unten rechts KachelX + 1 1331 KachelY + 1 2867 -1.09986422 -1.01607877 -63.017578 -58.217025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01527029--1.01607877) × R
    0.000808480000000111 × 6371000     		dl = 5150.82608000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01527029--1.01607877) × R
    0.000808480000000111 × 6371000     		dr = 5150.82608000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10139821--1.09986422) × cos(-1.01527029) × R
    0.00153398999999999 × 0.527390306179784 × 6371000     		do = 5154.21198475348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10139821--1.09986422) × cos(-1.01607877) × R
    0.00153398999999999 × 0.526703230583894 × 6371000     		du = 5147.49716040181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01527029)-sin(-1.01607877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527390306179784-0.526703230583894)×R²
    abs(-1.09986422--1.10139821)×0.000687075595889985×R²
    0.00153398999999999×0.000687075595889985×6371000²
    0.00153398999999999×0.000687075595889985×40589641000000     		ar = 26531157.5118721m²