Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1330 / 2366
↖ ↑ ↗
← N 60.283408°
W121.552734°		 ← 2 422.28 m → N 60.283408°
W121.508789°		 →
↑
2 423.08 m
↓
↑
2 423.08 m
↓
N 60.261617°
W121.552734°		 ← 2 423.90 m →
5 871 350 m²		 N 60.261617°
W121.508789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16241455078125 y=0.28887939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16241455078125 × 213)
    floor (0.16241455078125 × 8192)
    floor (1330.5)     		tx = 1330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28887939453125 × 213)
    floor (0.28887939453125 × 8192)
    floor (2366.5)     		ty = 2366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1330 / 2366 ti = "13/1330/2366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1330/2366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1330 ÷ 213
    1330 ÷ 8192     		x = 0.162353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2366 ÷ 213
    2366 ÷ 8192     		y = 0.288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162353515625 × 2 - 1) × π
    -0.67529296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12149543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288818359375 × 2 - 1) × π
    0.42236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.32689338148315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12149543} λ = -2.12149543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32689338148315))-π/2
    2×atan(3.76931535486209)-π/2
    2×1.31147014452339-π/2
    2.62294028904679-1.57079632675     		φ = 1.05214396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12149543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.552734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05214396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.283408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1330 KachelY 2366 -2.12149543 1.05214396 -121.552734 60.283408
    Oben rechts KachelX + 1 1331 KachelY 2366 -2.12072844 1.05214396 -121.508789 60.283408
    Unten links KachelX 1330 KachelY + 1 2367 -2.12149543 1.05176363 -121.552734 60.261617
    Unten rechts KachelX + 1 1331 KachelY + 1 2367 -2.12072844 1.05176363 -121.508789 60.261617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05214396-1.05176363) × R
    0.00038033000000004 × 6371000     		dl = 2423.08243000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05214396-1.05176363) × R
    0.00038033000000004 × 6371000     		dr = 2423.08243000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12149543--2.12072844) × cos(1.05214396) × R
    0.000766989999999801 × 0.495710185059438 × 6371000     		do = 2422.28449307697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12149543--2.12072844) × cos(1.05176363) × R
    0.000766989999999801 × 0.496040461241427 × 6371000     		du = 2423.89838542411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05214396)-sin(1.05176363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.495710185059438-0.496040461241427)×R²
    abs(-2.12072844--2.12149543)×0.000330276181988776×R²
    0.000766989999999801×0.000330276181988776×6371000²
    0.000766989999999801×0.000330276181988776×40589641000000     		ar = 5871350.36350638m²