Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1330 / 1517
↖ ↑ ↗
← S 65.146115°
E 53.789062°		 ← 8 215.28 m → S 65.146115°
E 53.964844°		 →
↑
8 203.87 m
↓
↑
8 203.87 m
↓
S 65.219894°
E 53.789062°		 ← 8 192.44 m →
67 303 437 m²		 S 65.219894°
E 53.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.649658203125 y=0.740966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.649658203125 × 211)
    floor (0.649658203125 × 2048)
    floor (1330.5)     		tx = 1330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740966796875 × 211)
    floor (0.740966796875 × 2048)
    floor (1517.5)     		ty = 1517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1330 / 1517 ti = "11/1330/1517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1330/1517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1330 ÷ 211
    1330 ÷ 2048     		x = 0.6494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1517 ÷ 211
    1517 ÷ 2048     		y = 0.74072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    0.298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93879624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74072265625 × 2 - 1) × π
    -0.4814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51250505681201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93879624} λ = 0.93879624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51250505681201))-π/2
    2×atan(0.220357278475084)-π/2
    2×0.216891063920358-π/2
    0.433782127840716-1.57079632675     		φ = -1.13701420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93879624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.789062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13701420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.146115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1330 KachelY 1517 0.93879624 -1.13701420 53.789062 -65.146115
    Oben rechts KachelX + 1 1331 KachelY 1517 0.94186420 -1.13701420 53.964844 -65.146115
    Unten links KachelX 1330 KachelY + 1 1518 0.93879624 -1.13830189 53.789062 -65.219894
    Unten rechts KachelX + 1 1331 KachelY + 1 1518 0.94186420 -1.13830189 53.964844 -65.219894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13701420--1.13830189) × R
    0.00128768999999984 × 6371000     		dl = 8203.87298999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13701420--1.13830189) × R
    0.00128768999999984 × 6371000     		dr = 8203.87298999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93879624-0.94186420) × cos(-1.13701420) × R
    0.00306796000000009 × 0.420305636393538 × 6371000     		do = 8215.28268794506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93879624-0.94186420) × cos(-1.13830189) × R
    0.00306796000000009 × 0.419136860759979 × 6371000     		du = 8192.43783078145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13701420)-sin(-1.13830189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420305636393538-0.419136860759979)×R²
    abs(0.94186420-0.93879624)×0.00116877563355949×R²
    0.00306796000000009×0.00116877563355949×6371000²
    0.00306796000000009×0.00116877563355949×40589641000000     		ar = 67303436.8954227m²