Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 133 / 38
↖ ↑ ↗
← N 82.118384°
W 86.484375°		 ← 10.721 km → N 82.118384°
W 85.781250°		 →
↑
10.787 km
↓
↑
10.787 km
↓
N 82.021378°
W 86.484375°		 ← 10.852 km →
116.351 km²		 N 82.021378°
W 85.781250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2607421875 y=0.0751953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2607421875 × 29)
    floor (0.2607421875 × 512)
    floor (133.5)     		tx = 133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0751953125 × 29)
    floor (0.0751953125 × 512)
    floor (38.5)     		ty = 38
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 133 / 38 ti = "9/133/38"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/133/38.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 133 ÷ 29
    133 ÷ 512     		x = 0.259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38 ÷ 29
    38 ÷ 512     		y = 0.07421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.259765625 × 2 - 1) × π
    -0.48046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.50943710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07421875 × 2 - 1) × π
    0.8515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.67526249399609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50943710} λ = -1.50943710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.67526249399609))-π/2
    2×atan(14.5161597443097)-π/2
    2×1.50201624857039-π/2
    3.00403249714077-1.57079632675     		φ = 1.43323617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50943710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.484375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43323617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.118384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 133 KachelY 38 -1.50943710 1.43323617 -86.484375 82.118384
    Oben rechts KachelX + 1 134 KachelY 38 -1.49716525 1.43323617 -85.781250 82.118384
    Unten links KachelX 133 KachelY + 1 39 -1.50943710 1.43154310 -86.484375 82.021378
    Unten rechts KachelX + 1 134 KachelY + 1 39 -1.49716525 1.43154310 -85.781250 82.021378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43323617-1.43154310) × R
    0.00169306999999996 × 6371000     		dl = 10786.5489699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43323617-1.43154310) × R
    0.00169306999999996 × 6371000     		dr = 10786.5489699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50943710--1.49716525) × cos(1.43323617) × R
    0.0122718500000001 × 0.137126729932919 × 6371000     		do = 10721.1102674936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50943710--1.49716525) × cos(1.43154310) × R
    0.0122718500000001 × 0.138803609030212 × 6371000     		du = 10852.2153096406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43323617)-sin(1.43154310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137126729932919-0.138803609030212)×R²
    abs(-1.49716525--1.50943710)×0.00167687909729314×R²
    0.0122718500000001×0.00167687909729314×6371000²
    0.0122718500000001×0.00167687909729314×40589641000000     		ar = 116350894.184946m²