Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13297 / 23505
↖ ↑ ↗
← S 61.359880°
W 33.914795°		 ← 585.54 m → S 61.359880°
W 33.903809°		 →
↑
585.49 m
↓
↑
585.49 m
↓
S 61.365145°
W 33.914795°		 ← 585.44 m →
342 802 m²		 S 61.365145°
W 33.903809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405807495117188 y=0.717330932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405807495117188 × 215)
    floor (0.405807495117188 × 32768)
    floor (13297.5)     		tx = 13297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717330932617188 × 215)
    floor (0.717330932617188 × 32768)
    floor (23505.5)     		ty = 23505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13297 / 23505 ti = "15/13297/23505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13297/23505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13297 ÷ 215
    13297 ÷ 32768     		x = 0.405792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23505 ÷ 215
    23505 ÷ 32768     		y = 0.717315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405792236328125 × 2 - 1) × π
    -0.18841552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59192484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717315673828125 × 2 - 1) × π
    -0.43463134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36543464877768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59192484} λ = -0.59192484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36543464877768))-π/2
    2×atan(0.255269699209124)-π/2
    2×0.249932197431194-π/2
    0.499864394862388-1.57079632675     		φ = -1.07093193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59192484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.914795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07093193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.359880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13297 KachelY 23505 -0.59192484 -1.07093193 -33.914795 -61.359880
    Oben rechts KachelX + 1 13298 KachelY 23505 -0.59173309 -1.07093193 -33.903809 -61.359880
    Unten links KachelX 13297 KachelY + 1 23506 -0.59192484 -1.07102383 -33.914795 -61.365145
    Unten rechts KachelX + 1 13298 KachelY + 1 23506 -0.59173309 -1.07102383 -33.903809 -61.365145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07093193--1.07102383) × R
    9.18999999999226e-05 × 6371000     		dl = 585.494899999507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07093193--1.07102383) × R
    9.18999999999226e-05 × 6371000     		dr = 585.494899999507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59192484--0.59173309) × cos(-1.07093193) × R
    0.000191750000000046 × 0.479306531188539 × 6371000     		do = 585.539671281409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59192484--0.59173309) × cos(-1.07102383) × R
    0.000191750000000046 × 0.479225873353369 × 6371000     		du = 585.441136504145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07093193)-sin(-1.07102383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479306531188539-0.479225873353369)×R²
    abs(-0.59173309--0.59192484)×8.06578351703058e-05×R²
    0.000191750000000046×8.06578351703058e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.06578351703058e-05×40589641000000     		ar = 342801.645719747m²