Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13294 / 21652
↖ ↑ ↗
← S 49.979488°
W 33.947754°		 ← 785.59 m → S 49.979488°
W 33.936767°		 →
↑
785.54 m
↓
↑
785.54 m
↓
S 49.986552°
W 33.947754°		 ← 785.47 m →
617 070 m²		 S 49.986552°
W 33.936767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405715942382812 y=0.660781860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405715942382812 × 215)
    floor (0.405715942382812 × 32768)
    floor (13294.5)     		tx = 13294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660781860351562 × 215)
    floor (0.660781860351562 × 32768)
    floor (21652.5)     		ty = 21652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13294 / 21652 ti = "15/13294/21652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13294/21652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13294 ÷ 215
    13294 ÷ 32768     		x = 0.40570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21652 ÷ 215
    21652 ÷ 32768     		y = 0.6607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40570068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1885986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59250008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6607666015625 × 2 - 1) × π
    -0.321533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01012634879382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59250008} λ = -0.59250008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01012634879382))-π/2
    2×atan(0.364172963849844)-π/2
    2×0.349244853461147-π/2
    0.698489706922295-1.57079632675     		φ = -0.87230662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59250008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.947754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87230662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.979488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13294 KachelY 21652 -0.59250008 -0.87230662 -33.947754 -49.979488
    Oben rechts KachelX + 1 13295 KachelY 21652 -0.59230833 -0.87230662 -33.936767 -49.979488
    Unten links KachelX 13294 KachelY + 1 21653 -0.59250008 -0.87242992 -33.947754 -49.986552
    Unten rechts KachelX + 1 13295 KachelY + 1 21653 -0.59230833 -0.87242992 -33.936767 -49.986552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87230662--0.87242992) × R
    0.000123299999999937 × 6371000     		dl = 785.544299999601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87230662--0.87242992) × R
    0.000123299999999937 × 6371000     		dr = 785.544299999601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59250008--0.59230833) × cos(-0.87230662) × R
    0.000191749999999935 × 0.643061816992917 × 6371000     		do = 785.589555814598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59250008--0.59230833) × cos(-0.87242992) × R
    0.000191749999999935 × 0.642967387205193 × 6371000     		du = 785.474196679546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87230662)-sin(-0.87242992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643061816992917-0.642967387205193)×R²
    abs(-0.59230833--0.59250008)×9.44297877236711e-05×R²
    0.000191749999999935×9.44297877236711e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.44297877236711e-05×40589641000000     		ar = 617070.088635689m²