Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13292 / 23522
↖ ↑ ↗
← S 61.449271°
W 33.969726°		 ← 583.84 m → S 61.449271°
W 33.958740°		 →
↑
583.77 m
↓
↑
583.77 m
↓
S 61.454521°
W 33.969726°		 ← 583.74 m →
340 800 m²		 S 61.454521°
W 33.958740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405654907226562 y=0.717849731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405654907226562 × 215)
    floor (0.405654907226562 × 32768)
    floor (13292.5)     		tx = 13292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717849731445312 × 215)
    floor (0.717849731445312 × 32768)
    floor (23522.5)     		ty = 23522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13292 / 23522 ti = "15/13292/23522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13292/23522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13292 ÷ 215
    13292 ÷ 32768     		x = 0.4056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23522 ÷ 215
    23522 ÷ 32768     		y = 0.71783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59288357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71783447265625 × 2 - 1) × π
    -0.4356689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36869435795184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59288357} λ = -0.59288357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36869435795184))-π/2
    2×atan(0.254438948966429)-π/2
    2×0.249152114195323-π/2
    0.498304228390646-1.57079632675     		φ = -1.07249210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59288357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.969726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07249210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.449271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13292 KachelY 23522 -0.59288357 -1.07249210 -33.969726 -61.449271
    Oben rechts KachelX + 1 13293 KachelY 23522 -0.59269183 -1.07249210 -33.958740 -61.449271
    Unten links KachelX 13292 KachelY + 1 23523 -0.59288357 -1.07258373 -33.969726 -61.454521
    Unten rechts KachelX + 1 13293 KachelY + 1 23523 -0.59269183 -1.07258373 -33.958740 -61.454521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07249210--1.07258373) × R
    9.16300000000092e-05 × 6371000     		dl = 583.774730000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07249210--1.07258373) × R
    9.16300000000092e-05 × 6371000     		dr = 583.774730000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59288357--0.59269183) × cos(-1.07249210) × R
    0.000191739999999996 × 0.477936668994646 × 6371000     		do = 583.835744512924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59288357--0.59269183) × cos(-1.07258373) × R
    0.000191739999999996 × 0.477856179718963 × 6371000     		du = 583.737420782516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07249210)-sin(-1.07258373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477936668994646-0.477856179718963)×R²
    abs(-0.59269183--0.59288357)×8.04892756833819e-05×R²
    0.000191739999999996×8.04892756833819e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.04892756833819e-05×40589641000000     		ar = 340799.854901174m²