Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1329 / 1197
↖ ↑ ↗
← N 59.667741°
W 63.193360°		 ← 4 935.49 m → N 59.667741°
W 63.105469°		 →
↑
4 938.74 m
↓
↑
4 938.74 m
↓
N 59.623325°
W 63.193360°		 ← 4 942.03 m →
24 391 233 m²		 N 59.623325°
W 63.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3245849609375 y=0.2923583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3245849609375 × 212)
    floor (0.3245849609375 × 4096)
    floor (1329.5)     		tx = 1329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2923583984375 × 212)
    floor (0.2923583984375 × 4096)
    floor (1197.5)     		ty = 1197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1329 / 1197 ti = "12/1329/1197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1329/1197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1329 ÷ 212
    1329 ÷ 4096     		x = 0.324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1197 ÷ 212
    1197 ÷ 4096     		y = 0.292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.35107421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.10293219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292236328125 × 2 - 1) × π
    0.41552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30541765045337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10293219} λ = -1.10293219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30541765045337))-π/2
    2×atan(3.68922958039698)-π/2
    2×1.30609742857584-π/2
    2.61219485715168-1.57079632675     		φ = 1.04139853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10293219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.193360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04139853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.667741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1329 KachelY 1197 -1.10293219 1.04139853 -63.193360 59.667741
    Oben rechts KachelX + 1 1330 KachelY 1197 -1.10139821 1.04139853 -63.105469 59.667741
    Unten links KachelX 1329 KachelY + 1 1198 -1.10293219 1.04062334 -63.193360 59.623325
    Unten rechts KachelX + 1 1330 KachelY + 1 1198 -1.10139821 1.04062334 -63.105469 59.623325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04139853-1.04062334) × R
    0.000775189999999926 × 6371000     		dl = 4938.73548999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04139853-1.04062334) × R
    0.000775189999999926 × 6371000     		dr = 4938.73548999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10293219--1.10139821) × cos(1.04139853) × R
    0.00153398000000005 × 0.5050136643875 × 6371000     		do = 4935.49176477581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10293219--1.10139821) × cos(1.04062334) × R
    0.00153398000000005 × 0.505682587869946 × 6371000     		du = 4942.0291449928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04139853)-sin(1.04062334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5050136643875-0.505682587869946)×R²
    abs(-1.10139821--1.10293219)×0.000668923482446404×R²
    0.00153398000000005×0.000668923482446404×6371000²
    0.00153398000000005×0.000668923482446404×40589641000000     		ar = 24391232.7565697m²