Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13286 / 5356
↖ ↑ ↗
← N 52.749594°
E111.928711°		 ← 1 478.92 m → N 52.749594°
E111.950684°		 →
↑
1 479.16 m
↓
↑
1 479.16 m
↓
N 52.736291°
E111.928711°		 ← 1 479.37 m →
2 187 879 m²		 N 52.736291°
E111.950684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810943603515625 y=0.326934814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810943603515625 × 214)
    floor (0.810943603515625 × 16384)
    floor (13286.5)     		tx = 13286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326934814453125 × 214)
    floor (0.326934814453125 × 16384)
    floor (5356.5)     		ty = 5356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13286 / 5356 ti = "14/13286/5356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13286/5356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13286 ÷ 214
    13286 ÷ 16384     		x = 0.8109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5356 ÷ 214
    5356 ÷ 16384     		y = 0.326904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8109130859375 × 2 - 1) × π
    0.621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95352453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326904296875 × 2 - 1) × π
    0.34619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08759237857983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95352453} λ = 1.95352453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08759237857983))-π/2
    2×atan(2.96712176008183)-π/2
    2×1.24572520819853-π/2
    2.49145041639706-1.57079632675     		φ = 0.92065409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95352453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92065409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.749594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13286 KachelY 5356 1.95352453 0.92065409 111.928711 52.749594
    Oben rechts KachelX + 1 13287 KachelY 5356 1.95390803 0.92065409 111.950684 52.749594
    Unten links KachelX 13286 KachelY + 1 5357 1.95352453 0.92042192 111.928711 52.736291
    Unten rechts KachelX + 1 13287 KachelY + 1 5357 1.95390803 0.92042192 111.950684 52.736291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92065409-0.92042192) × R
    0.000232169999999976 × 6371000     		dl = 1479.15506999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92065409-0.92042192) × R
    0.000232169999999976 × 6371000     		dr = 1479.15506999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95352453-1.95390803) × cos(0.92065409) × R
    0.000383500000000092 × 0.605299632021777 × 6371000     		do = 1478.91557697707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95352453-1.95390803) × cos(0.92042192) × R
    0.000383500000000092 × 0.60548442249491 × 6371000     		du = 1479.36707156708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92065409)-sin(0.92042192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605299632021777-0.60548442249491)×R²
    abs(1.95390803-1.95352453)×0.000184790473132579×R²
    0.000383500000000092×0.000184790473132579×6371000²
    0.000383500000000092×0.000184790473132579×40589641000000     		ar = 2187879.3988713m²