Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13285 / 5643
↖ ↑ ↗
← N 48.763431°
E111.906738°		 ← 1 610.49 m → N 48.763431°
E111.928711°		 →
↑
1 610.78 m
↓
↑
1 610.78 m
↓
N 48.748945°
E111.906738°		 ← 1 610.96 m →
2 594 524 m²		 N 48.748945°
E111.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810882568359375 y=0.344451904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810882568359375 × 214)
    floor (0.810882568359375 × 16384)
    floor (13285.5)     		tx = 13285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344451904296875 × 214)
    floor (0.344451904296875 × 16384)
    floor (5643.5)     		ty = 5643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13285 / 5643 ti = "14/13285/5643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13285/5643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13285 ÷ 214
    13285 ÷ 16384     		x = 0.81085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5643 ÷ 214
    5643 ÷ 16384     		y = 0.34442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81085205078125 × 2 - 1) × π
    0.6217041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95314104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34442138671875 × 2 - 1) × π
    0.3111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.977529257052185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95314104} λ = 1.95314104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977529257052185))-π/2
    2×atan(2.65788118144689)-π/2
    2×1.21093937735134-π/2
    2.42187875470267-1.57079632675     		φ = 0.85108243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95314104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.906738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85108243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.763431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13285 KachelY 5643 1.95314104 0.85108243 111.906738 48.763431
    Oben rechts KachelX + 1 13286 KachelY 5643 1.95352453 0.85108243 111.928711 48.763431
    Unten links KachelX 13285 KachelY + 1 5644 1.95314104 0.85082960 111.906738 48.748945
    Unten rechts KachelX + 1 13286 KachelY + 1 5644 1.95352453 0.85082960 111.928711 48.748945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85108243-0.85082960) × R
    0.000252829999999982 × 6371000     		dl = 1610.77992999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85108243-0.85082960) × R
    0.000252829999999982 × 6371000     		dr = 1610.77992999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95314104-1.95352453) × cos(0.85108243) × R
    0.000383489999999931 × 0.659169550958705 × 6371000     		do = 1610.49279601968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95314104-1.95352453) × cos(0.85082960) × R
    0.000383489999999931 × 0.65935965662025 × 6371000     		du = 1610.95726498363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85108243)-sin(0.85082960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659169550958705-0.65935965662025)×R²
    abs(1.95352453-1.95314104)×0.00019010566154487×R²
    0.000383489999999931×0.00019010566154487×6371000²
    0.000383489999999931×0.00019010566154487×40589641000000     		ar = 2594523.56570227m²