Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13283 / 5640
↖ ↑ ↗
← N 48.806863°
E111.862793°		 ← 1 609.10 m → N 48.806863°
E111.884765°		 →
↑
1 609.31 m
↓
↑
1 609.31 m
↓
N 48.792390°
E111.862793°		 ← 1 609.56 m →
2 589 921 m²		 N 48.792390°
E111.884765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810760498046875 y=0.344268798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810760498046875 × 214)
    floor (0.810760498046875 × 16384)
    floor (13283.5)     		tx = 13283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344268798828125 × 214)
    floor (0.344268798828125 × 16384)
    floor (5640.5)     		ty = 5640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13283 / 5640 ti = "14/13283/5640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13283/5640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13283 ÷ 214
    13283 ÷ 16384     		x = 0.81072998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5640 ÷ 214
    5640 ÷ 16384     		y = 0.34423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81072998046875 × 2 - 1) × π
    0.6214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95237405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34423828125 × 2 - 1) × π
    0.3115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.978679742643066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95237405} λ = 1.95237405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.978679742643066))-π/2
    2×atan(2.66094079513167)-π/2
    2×1.21131839587186-π/2
    2.42263679174373-1.57079632675     		φ = 0.85184046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95237405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.862793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85184046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.806863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13283 KachelY 5640 1.95237405 0.85184046 111.862793 48.806863
    Oben rechts KachelX + 1 13284 KachelY 5640 1.95275754 0.85184046 111.884765 48.806863
    Unten links KachelX 13283 KachelY + 1 5641 1.95237405 0.85158786 111.862793 48.792390
    Unten rechts KachelX + 1 13284 KachelY + 1 5641 1.95275754 0.85158786 111.884765 48.792390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85184046-0.85158786) × R
    0.000252600000000047 × 6371000     		dl = 1609.3146000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85184046-0.85158786) × R
    0.000252600000000047 × 6371000     		dr = 1609.3146000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95237405-1.95275754) × cos(0.85184046) × R
    0.000383489999999931 × 0.658599327353307 × 6371000     		do = 1609.09961727336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95237405-1.95275754) × cos(0.85158786) × R
    0.000383489999999931 × 0.658789386274791 × 6371000     		du = 1609.5639720413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85184046)-sin(0.85158786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658599327353307-0.658789386274791)×R²
    abs(1.95275754-1.95237405)×0.000190058921484271×R²
    0.000383489999999931×0.000190058921484271×6371000²
    0.000383489999999931×0.000190058921484271×40589641000000     		ar = 2589921.16715803m²