Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13282 / 6625
↖ ↑ ↗
← N 32.528289°
E111.840820°		 ← 2 059.99 m → N 32.528289°
E111.862793°		 →
↑
2 060.19 m
↓
↑
2 060.19 m
↓
N 32.509762°
E111.840820°		 ← 2 060.42 m →
4 244 413 m²		 N 32.509762°
E111.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810699462890625 y=0.404388427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810699462890625 × 214)
    floor (0.810699462890625 × 16384)
    floor (13282.5)     		tx = 13282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404388427734375 × 214)
    floor (0.404388427734375 × 16384)
    floor (6625.5)     		ty = 6625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13282 / 6625 ti = "14/13282/6625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13282/6625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13282 ÷ 214
    13282 ÷ 16384     		x = 0.8106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6625 ÷ 214
    6625 ÷ 16384     		y = 0.40435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8106689453125 × 2 - 1) × π
    0.621337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95199055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40435791015625 × 2 - 1) × π
    0.1912841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.600936973637024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95199055} λ = 1.95199055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.600936973637024))-π/2
    2×atan(1.82382687775677)-π/2
    2×1.06926103811904-π/2
    2.13852207623807-1.57079632675     		φ = 0.56772575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95199055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.840820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56772575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.528289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13282 KachelY 6625 1.95199055 0.56772575 111.840820 32.528289
    Oben rechts KachelX + 1 13283 KachelY 6625 1.95237405 0.56772575 111.862793 32.528289
    Unten links KachelX 13282 KachelY + 1 6626 1.95199055 0.56740238 111.840820 32.509762
    Unten rechts KachelX + 1 13283 KachelY + 1 6626 1.95237405 0.56740238 111.862793 32.509762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56772575-0.56740238) × R
    0.000323370000000045 × 6371000     		dl = 2060.19027000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56772575-0.56740238) × R
    0.000323370000000045 × 6371000     		dr = 2060.19027000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95199055-1.95237405) × cos(0.56772575) × R
    0.00038349999999987 × 0.84312605504649 × 6371000     		do = 2059.99176308421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95199055-1.95237405) × cos(0.56740238) × R
    0.00038349999999987 × 0.843299892171876 × 6371000     		du = 2060.41649559517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56772575)-sin(0.56740238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84312605504649-0.843299892171876)×R²
    abs(1.95237405-1.95199055)×0.000173837125386433×R²
    0.00038349999999987×0.000173837125386433×6371000²
    0.00038349999999987×0.000173837125386433×40589641000000     		ar = 4244412.53846578m²