Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13282 / 5632
↖ ↑ ↗
← N 48.922499°
E111.840820°		 ← 1 605.43 m → N 48.922499°
E111.862793°		 →
↑
1 605.62 m
↓
↑
1 605.62 m
↓
N 48.908060°
E111.840820°		 ← 1 605.89 m →
2 578 078 m²		 N 48.908060°
E111.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810699462890625 y=0.343780517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810699462890625 × 214)
    floor (0.810699462890625 × 16384)
    floor (13282.5)     		tx = 13282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343780517578125 × 214)
    floor (0.343780517578125 × 16384)
    floor (5632.5)     		ty = 5632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13282 / 5632 ti = "14/13282/5632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13282/5632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13282 ÷ 214
    13282 ÷ 16384     		x = 0.8106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5632 ÷ 214
    5632 ÷ 16384     		y = 0.34375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8106689453125 × 2 - 1) × π
    0.621337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95199055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34375 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Φ = 0.98174770421875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95199055} λ = 1.95199055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.98174770421875))-π/2
    2×atan(2.66911699496664)-π/2
    2×1.21232750861677-π/2
    2.42465501723354-1.57079632675     		φ = 0.85385869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95199055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.840820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85385869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.922499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13282 KachelY 5632 1.95199055 0.85385869 111.840820 48.922499
    Oben rechts KachelX + 1 13283 KachelY 5632 1.95237405 0.85385869 111.862793 48.922499
    Unten links KachelX 13282 KachelY + 1 5633 1.95199055 0.85360667 111.840820 48.908060
    Unten rechts KachelX + 1 13283 KachelY + 1 5633 1.95237405 0.85360667 111.862793 48.908060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85385869-0.85360667) × R
    0.000252020000000019 × 6371000     		dl = 1605.61942000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85385869-0.85360667) × R
    0.000252020000000019 × 6371000     		dr = 1605.61942000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95199055-1.95237405) × cos(0.85385869) × R
    0.00038349999999987 × 0.657079281492828 × 6371000     		do = 1605.42768126633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95199055-1.95237405) × cos(0.85360667) × R
    0.00038349999999987 × 0.657269238712331 × 6371000     		du = 1605.89179965666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85385869)-sin(0.85360667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657079281492828-0.657269238712331)×R²
    abs(1.95237405-1.95199055)×0.000189957219503101×R²
    0.00038349999999987×0.000189957219503101×6371000²
    0.00038349999999987×0.000189957219503101×40589641000000     		ar = 2578078.47484203m²