Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13282 / 23557
↖ ↑ ↗
← S 61.632507°
W 34.079590°		 ← 580.43 m → S 61.632507°
W 34.068603°		 →
↑
580.40 m
↓
↑
580.40 m
↓
S 61.637726°
W 34.079590°		 ← 580.33 m →
336 853 m²		 S 61.637726°
W 34.068603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405349731445312 y=0.718917846679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405349731445312 × 215)
    floor (0.405349731445312 × 32768)
    floor (13282.5)     		tx = 13282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718917846679688 × 215)
    floor (0.718917846679688 × 32768)
    floor (23557.5)     		ty = 23557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13282 / 23557 ti = "15/13282/23557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13282/23557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13282 ÷ 215
    13282 ÷ 32768     		x = 0.40533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23557 ÷ 215
    23557 ÷ 32768     		y = 0.718902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59480105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.43780517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37540552389865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59480105} λ = -0.59480105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37540552389865))-π/2
    2×atan(0.252737084093002)-π/2
    2×0.247553078607621-π/2
    0.495106157215241-1.57079632675     		φ = -1.07569017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59480105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.079590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07569017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.632507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13282 KachelY 23557 -0.59480105 -1.07569017 -34.079590 -61.632507
    Oben rechts KachelX + 1 13283 KachelY 23557 -0.59460930 -1.07569017 -34.068603 -61.632507
    Unten links KachelX 13282 KachelY + 1 23558 -0.59480105 -1.07578127 -34.079590 -61.637726
    Unten rechts KachelX + 1 13283 KachelY + 1 23558 -0.59460930 -1.07578127 -34.068603 -61.637726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07569017--1.07578127) × R
    9.11000000001216e-05 × 6371000     		dl = 580.398100000775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07569017--1.07578127) × R
    9.11000000001216e-05 × 6371000     		dr = 580.398100000775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59480105--0.59460930) × cos(-1.07569017) × R
    0.000191750000000046 × 0.475125063251992 × 6371000     		do = 580.431425927506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59480105--0.59460930) × cos(-1.07578127) × R
    0.000191750000000046 × 0.475044900725483 × 6371000     		du = 580.333496238743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07569017)-sin(-1.07578127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475125063251992-0.475044900725483)×R²
    abs(-0.59460930--0.59480105)×8.01625265089423e-05×R²
    0.000191750000000046×8.01625265089423e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.01625265089423e-05×40589641000000     		ar = 336852.877920172m²