Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13281 / 5589
↖ ↑ ↗
← N 49.539469°
E111.818848°		 ← 1 585.46 m → N 49.539469°
E111.840820°		 →
↑
1 585.68 m
↓
↑
1 585.68 m
↓
N 49.525208°
E111.818848°		 ← 1 585.92 m →
2 514 398 m²		 N 49.525208°
E111.840820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810638427734375 y=0.341156005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810638427734375 × 214)
    floor (0.810638427734375 × 16384)
    floor (13281.5)     		tx = 13281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341156005859375 × 214)
    floor (0.341156005859375 × 16384)
    floor (5589.5)     		ty = 5589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13281 / 5589 ti = "14/13281/5589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13281/5589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13281 ÷ 214
    13281 ÷ 16384     		x = 0.81060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5589 ÷ 214
    5589 ÷ 16384     		y = 0.34112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81060791015625 × 2 - 1) × π
    0.6212158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95160706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34112548828125 × 2 - 1) × π
    0.3177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.998237997688049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95160706} λ = 1.95160706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.998237997688049))-π/2
    2×atan(2.71349642677527)-π/2
    2×1.21771158532727-π/2
    2.43542317065454-1.57079632675     		φ = 0.86462684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95160706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.818848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86462684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.539469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13281 KachelY 5589 1.95160706 0.86462684 111.818848 49.539469
    Oben rechts KachelX + 1 13282 KachelY 5589 1.95199055 0.86462684 111.840820 49.539469
    Unten links KachelX 13281 KachelY + 1 5590 1.95160706 0.86437795 111.818848 49.525208
    Unten rechts KachelX + 1 13282 KachelY + 1 5590 1.95199055 0.86437795 111.840820 49.525208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86462684-0.86437795) × R
    0.000248890000000057 × 6371000     		dl = 1585.67819000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86462684-0.86437795) × R
    0.000248890000000057 × 6371000     		dr = 1585.67819000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95160706-1.95199055) × cos(0.86462684) × R
    0.000383490000000153 × 0.648924080827522 × 6371000     		do = 1585.46091186559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95160706-1.95199055) × cos(0.86437795) × R
    0.000383490000000153 × 0.64911342947038 × 6371000     		du = 1585.92353127029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86462684)-sin(0.86437795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648924080827522-0.64911342947038)×R²
    abs(1.95199055-1.95160706)×0.000189348642857134×R²
    0.000383490000000153×0.000189348642857134×6371000²
    0.000383490000000153×0.000189348642857134×40589641000000     		ar = 2514397.58477352m²