Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13281 / 23561
↖ ↑ ↗
← S 61.653379°
W 34.090576°		 ← 580.04 m → S 61.653379°
W 34.079590°		 →
↑
580.02 m
↓
↑
580.02 m
↓
S 61.658595°
W 34.090576°		 ← 579.94 m →
336 404 m²		 S 61.658595°
W 34.079590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405319213867188 y=0.719039916992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405319213867188 × 215)
    floor (0.405319213867188 × 32768)
    floor (13281.5)     		tx = 13281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719039916992188 × 215)
    floor (0.719039916992188 × 32768)
    floor (23561.5)     		ty = 23561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13281 / 23561 ti = "15/13281/23561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13281/23561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13281 ÷ 215
    13281 ÷ 32768     		x = 0.405303955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23561 ÷ 215
    23561 ÷ 32768     		y = 0.719024658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405303955078125 × 2 - 1) × π
    -0.18939208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59499280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.43804931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37617251429257
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59499280} λ = -0.59499280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37617251429257))-π/2
    2×atan(0.252543311497674)-π/2
    2×0.247370931903102-π/2
    0.494741863806204-1.57079632675     		φ = -1.07605446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59499280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.090576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07605446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.653379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13281 KachelY 23561 -0.59499280 -1.07605446 -34.090576 -61.653379
    Oben rechts KachelX + 1 13282 KachelY 23561 -0.59480105 -1.07605446 -34.079590 -61.653379
    Unten links KachelX 13281 KachelY + 1 23562 -0.59499280 -1.07614550 -34.090576 -61.658595
    Unten rechts KachelX + 1 13282 KachelY + 1 23562 -0.59480105 -1.07614550 -34.079590 -61.658595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07605446--1.07614550) × R
    9.10400000000422e-05 × 6371000     		dl = 580.015840000269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07605446--1.07614550) × R
    9.10400000000422e-05 × 6371000     		dr = 580.015840000269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59499280--0.59480105) × cos(-1.07605446) × R
    0.000191749999999935 × 0.47480448630368 × 6371000     		do = 580.039796544466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59499280--0.59480105) × cos(-1.07614550) × R
    0.000191749999999935 × 0.474724360824003 × 6371000     		du = 579.941912113568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07605446)-sin(-1.07614550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47480448630368-0.474724360824003)×R²
    abs(-0.59480105--0.59499280)×8.01254796764517e-05×R²
    0.000191749999999935×8.01254796764517e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.01254796764517e-05×40589641000000     		ar = 336403.882798624m²