Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13281 / 23559
↖ ↑ ↗
← S 61.642945°
W 34.090576°		 ← 580.24 m → S 61.642945°
W 34.079590°		 →
↑
580.14 m
↓
↑
580.14 m
↓
S 61.648162°
W 34.090576°		 ← 580.14 m →
336 591 m²		 S 61.648162°
W 34.079590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405319213867188 y=0.718978881835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405319213867188 × 215)
    floor (0.405319213867188 × 32768)
    floor (13281.5)     		tx = 13281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718978881835938 × 215)
    floor (0.718978881835938 × 32768)
    floor (23559.5)     		ty = 23559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13281 / 23559 ti = "15/13281/23559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13281/23559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13281 ÷ 215
    13281 ÷ 32768     		x = 0.405303955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23559 ÷ 215
    23559 ÷ 32768     		y = 0.718963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405303955078125 × 2 - 1) × π
    -0.18939208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59499280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.43792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37578901909561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59499280} λ = -0.59499280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37578901909561))-π/2
    2×atan(0.252640179217623)-π/2
    2×0.247461989887752-π/2
    0.494923979775505-1.57079632675     		φ = -1.07587235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59499280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.090576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07587235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.642945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13281 KachelY 23559 -0.59499280 -1.07587235 -34.090576 -61.642945
    Oben rechts KachelX + 1 13282 KachelY 23559 -0.59480105 -1.07587235 -34.079590 -61.642945
    Unten links KachelX 13281 KachelY + 1 23560 -0.59499280 -1.07596341 -34.090576 -61.648162
    Unten rechts KachelX + 1 13282 KachelY + 1 23560 -0.59480105 -1.07596341 -34.079590 -61.648162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07587235--1.07596341) × R
    9.10599999999206e-05 × 6371000     		dl = 580.143259999494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07587235--1.07596341) × R
    9.10599999999206e-05 × 6371000     		dr = 580.143259999494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59499280--0.59480105) × cos(-1.07587235) × R
    0.000191749999999935 × 0.474964751856573 × 6371000     		do = 580.235583234304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59499280--0.59480105) × cos(-1.07596341) × R
    0.000191749999999935 × 0.474884616648524 × 6371000     		du = 580.137686918843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07587235)-sin(-1.07596341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474964751856573-0.474884616648524)×R²
    abs(-0.59480105--0.59499280)×8.01352080498363e-05×R²
    0.000191749999999935×8.01352080498363e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.01352080498363e-05×40589641000000     		ar = 336591.366114221m²