Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1328 / 2367
↖ ↑ ↗
← N 60.261617°
W121.640625°		 ← 2 423.90 m → N 60.261617°
W121.596680°		 →
↑
2 424.68 m
↓
↑
2 424.68 m
↓
N 60.239811°
W121.640625°		 ← 2 425.51 m →
5 879 124 m²		 N 60.239811°
W121.596680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16217041015625 y=0.28900146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16217041015625 × 213)
    floor (0.16217041015625 × 8192)
    floor (1328.5)     		tx = 1328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28900146484375 × 213)
    floor (0.28900146484375 × 8192)
    floor (2367.5)     		ty = 2367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1328 / 2367 ti = "13/1328/2367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1328/2367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1328 ÷ 213
    1328 ÷ 8192     		x = 0.162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2367 ÷ 213
    2367 ÷ 8192     		y = 0.2889404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162109375 × 2 - 1) × π
    -0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2889404296875 × 2 - 1) × π
    0.422119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.32612639108923
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12302941} λ = -2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32612639108923))-π/2
    2×atan(3.76642543460547)-π/2
    2×1.3112799787239-π/2
    2.62255995744779-1.57079632675     		φ = 1.05176363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05176363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.261617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1328 KachelY 2367 -2.12302941 1.05176363 -121.640625 60.261617
    Oben rechts KachelX + 1 1329 KachelY 2367 -2.12226242 1.05176363 -121.596680 60.261617
    Unten links KachelX 1328 KachelY + 1 2368 -2.12302941 1.05138305 -121.640625 60.239811
    Unten rechts KachelX + 1 1329 KachelY + 1 2368 -2.12226242 1.05138305 -121.596680 60.239811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05176363-1.05138305) × R
    0.000380579999999853 × 6371000     		dl = 2424.67517999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05176363-1.05138305) × R
    0.000380579999999853 × 6371000     		dr = 2424.67517999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12302941--2.12226242) × cos(1.05176363) × R
    0.000766989999999801 × 0.496040461241427 × 6371000     		do = 2423.89838542411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12302941--2.12226242) × cos(1.05138305) × R
    0.000766989999999801 × 0.496370882698369 × 6371000     		du = 2425.51298765633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05176363)-sin(1.05138305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496040461241427-0.496370882698369)×R²
    abs(-2.12226242--2.12302941)×0.000330421456941732×R²
    0.000766989999999801×0.000330421456941732×6371000²
    0.000766989999999801×0.000330421456941732×40589641000000     		ar = 5879123.76791744m²