Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13279 / 6687
↖ ↑ ↗
← N 31.372399°
E111.774903°		 ← 2 086.02 m → N 31.372399°
E111.796875°		 →
↑
2 086.25 m
↓
↑
2 086.25 m
↓
N 31.353637°
E111.774903°		 ← 2 086.44 m →
4 352 391 m²		 N 31.353637°
E111.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810516357421875 y=0.408172607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810516357421875 × 214)
    floor (0.810516357421875 × 16384)
    floor (13279.5)     		tx = 13279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408172607421875 × 214)
    floor (0.408172607421875 × 16384)
    floor (6687.5)     		ty = 6687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13279 / 6687 ti = "14/13279/6687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13279/6687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13279 ÷ 214
    13279 ÷ 16384     		x = 0.81048583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6687 ÷ 214
    6687 ÷ 16384     		y = 0.40814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81048583984375 × 2 - 1) × π
    0.6209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95084007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40814208984375 × 2 - 1) × π
    0.1837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.577160271425476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95084007} λ = 1.95084007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577160271425476))-π/2
    2×atan(1.78097376093036)-π/2
    2×1.05917399270535-π/2
    2.1183479854107-1.57079632675     		φ = 0.54755166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95084007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.774903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54755166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.372399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13279 KachelY 6687 1.95084007 0.54755166 111.774903 31.372399
    Oben rechts KachelX + 1 13280 KachelY 6687 1.95122356 0.54755166 111.796875 31.372399
    Unten links KachelX 13279 KachelY + 1 6688 1.95084007 0.54722420 111.774903 31.353637
    Unten rechts KachelX + 1 13280 KachelY + 1 6688 1.95122356 0.54722420 111.796875 31.353637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54755166-0.54722420) × R
    0.000327459999999946 × 6371000     		dl = 2086.24765999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54755166-0.54722420) × R
    0.000327459999999946 × 6371000     		dr = 2086.24765999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95084007-1.95122356) × cos(0.54755166) × R
    0.000383490000000153 × 0.853801681659168 × 6371000     		do = 2086.02089635738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95084007-1.95122356) × cos(0.54722420) × R
    0.000383490000000153 × 0.853972111029799 × 6371000     		du = 2086.43729191636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54755166)-sin(0.54722420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853801681659168-0.853972111029799)×R²
    abs(1.95122356-1.95084007)×0.000170429370630165×R²
    0.000383490000000153×0.000170429370630165×6371000²
    0.000383490000000153×0.000170429370630165×40589641000000     		ar = 4352390.60475858m²