Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13274 / 23567
↖ ↑ ↗
← S 61.684661°
W 34.167480°		 ← 579.45 m → S 61.684661°
W 34.156494°		 →
↑
579.38 m
↓
↑
579.38 m
↓
S 61.689872°
W 34.167480°		 ← 579.35 m →
335 694 m²		 S 61.689872°
W 34.156494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405105590820312 y=0.719223022460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405105590820312 × 215)
    floor (0.405105590820312 × 32768)
    floor (13274.5)     		tx = 13274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719223022460938 × 215)
    floor (0.719223022460938 × 32768)
    floor (23567.5)     		ty = 23567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13274 / 23567 ti = "15/13274/23567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13274/23567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13274 ÷ 215
    13274 ÷ 32768     		x = 0.40509033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23567 ÷ 215
    23567 ÷ 32768     		y = 0.719207763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.1898193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59633503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719207763671875 × 2 - 1) × π
    -0.43841552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37732299988345
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59633503} λ = -0.59633503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37732299988345))-π/2
    2×atan(0.252252931127967)-π/2
    2×0.247097942286933-π/2
    0.494195884573865-1.57079632675     		φ = -1.07660044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59633503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.167480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07660044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.684661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13274 KachelY 23567 -0.59633503 -1.07660044 -34.167480 -61.684661
    Oben rechts KachelX + 1 13275 KachelY 23567 -0.59614328 -1.07660044 -34.156494 -61.684661
    Unten links KachelX 13274 KachelY + 1 23568 -0.59633503 -1.07669138 -34.167480 -61.689872
    Unten rechts KachelX + 1 13275 KachelY + 1 23568 -0.59614328 -1.07669138 -34.156494 -61.689872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07660044--1.07669138) × R
    9.09399999999838e-05 × 6371000     		dl = 579.378739999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07660044--1.07669138) × R
    9.09399999999838e-05 × 6371000     		dr = 579.378739999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59633503--0.59614328) × cos(-1.07660044) × R
    0.000191749999999935 × 0.474323903310288 × 6371000     		do = 579.452697496856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59633503--0.59614328) × cos(-1.07669138) × R
    0.000191749999999935 × 0.474243842283262 × 6371000     		du = 579.354891803846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07660044)-sin(-1.07669138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474323903310288-0.474243842283262)×R²
    abs(-0.59614328--0.59633503)×8.00610270263458e-05×R²
    0.000191749999999935×8.00610270263458e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.00610270263458e-05×40589641000000     		ar = 335694.240727294m²