Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13274 / 12486
↖ ↑ ↗
← S 68.187889°
E111.665039°		 ← 907.83 m → S 68.187889°
E111.687012°		 →
↑
907.68 m
↓
↑
907.68 m
↓
S 68.196052°
E111.665039°		 ← 907.51 m →
823 873 m²		 S 68.196052°
E111.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810211181640625 y=0.762115478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810211181640625 × 214)
    floor (0.810211181640625 × 16384)
    floor (13274.5)     		tx = 13274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762115478515625 × 214)
    floor (0.762115478515625 × 16384)
    floor (12486.5)     		ty = 12486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13274 / 12486 ti = "14/13274/12486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13274/12486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13274 ÷ 214
    13274 ÷ 16384     		x = 0.8101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12486 ÷ 214
    12486 ÷ 16384     		y = 0.7620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8101806640625 × 2 - 1) × π
    0.620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94892259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.524169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64672837574817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94892259} λ = 1.94892259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64672837574817))-π/2
    2×atan(0.192679252686664)-π/2
    2×0.190346572511113-π/2
    0.380693145022227-1.57079632675     		φ = -1.19010318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94892259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19010318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.187889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13274 KachelY 12486 1.94892259 -1.19010318 111.665039 -68.187889
    Oben rechts KachelX + 1 13275 KachelY 12486 1.94930609 -1.19010318 111.687012 -68.187889
    Unten links KachelX 13274 KachelY + 1 12487 1.94892259 -1.19024565 111.665039 -68.196052
    Unten rechts KachelX + 1 13275 KachelY + 1 12487 1.94930609 -1.19024565 111.687012 -68.196052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19010318--1.19024565) × R
    0.000142470000000117 × 6371000     		dl = 907.676370000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19010318--1.19024565) × R
    0.000142470000000117 × 6371000     		dr = 907.676370000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94892259-1.94930609) × cos(-1.19010318) × R
    0.000383500000000092 × 0.371564081172296 × 6371000     		do = 907.834530900743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94892259-1.94930609) × cos(-1.19024565) × R
    0.000383500000000092 × 0.371431807212315 × 6371000     		du = 907.511348778211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19010318)-sin(-1.19024565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371564081172296-0.371431807212315)×R²
    abs(1.94930609-1.94892259)×0.000132273959981277×R²
    0.000383500000000092×0.000132273959981277×6371000²
    0.000383500000000092×0.000132273959981277×40589641000000     		ar = 823873.280574804m²