Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13273 / 2966
↖ ↑ ↗
← N 81.271720°
W 34.178467°		 ← 185.38 m → N 81.271720°
W 34.167480°		 →
↑
185.40 m
↓
↑
185.40 m
↓
N 81.270053°
W 34.178467°		 ← 185.42 m →
34 372 m²		 N 81.270053°
W 34.167480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405075073242188 y=0.0905303955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405075073242188 × 215)
    floor (0.405075073242188 × 32768)
    floor (13273.5)     		tx = 13273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0905303955078125 × 215)
    floor (0.0905303955078125 × 32768)
    floor (2966.5)     		ty = 2966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13273 / 2966 ti = "15/13273/2966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13273/2966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13273 ÷ 215
    13273 ÷ 32768     		x = 0.405059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2966 ÷ 215
    2966 ÷ 32768     		y = 0.09051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.18988037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59652678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09051513671875 × 2 - 1) × π
    0.8189697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57286927640765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59652678} λ = -0.59652678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57286927640765))-π/2
    2×atan(13.1033677380408)-π/2
    2×1.49462771231253-π/2
    2.98925542462507-1.57079632675     		φ = 1.41845910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59652678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.178467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41845910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.271720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13273 KachelY 2966 -0.59652678 1.41845910 -34.178467 81.271720
    Oben rechts KachelX + 1 13274 KachelY 2966 -0.59633503 1.41845910 -34.167480 81.271720
    Unten links KachelX 13273 KachelY + 1 2967 -0.59652678 1.41843000 -34.178467 81.270053
    Unten rechts KachelX + 1 13274 KachelY + 1 2967 -0.59633503 1.41843000 -34.167480 81.270053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41845910-1.41843000) × R
    2.90999999998931e-05 × 6371000     		dl = 185.396099999319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41845910-1.41843000) × R
    2.90999999998931e-05 × 6371000     		dr = 185.396099999319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59652678--0.59633503) × cos(1.41845910) × R
    0.000191750000000046 × 0.151748704464605 × 6371000     		do = 185.382173510656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59652678--0.59633503) × cos(1.41843000) × R
    0.000191750000000046 × 0.151777467396358 × 6371000     		du = 185.417311437031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41845910)-sin(1.41843000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151748704464605-0.151777467396358)×R²
    abs(-0.59633503--0.59652678)×2.87629317526628e-05×R²
    0.000191750000000046×2.87629317526628e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.87629317526628e-05×40589641000000     		ar = 34372.3891976721m²