Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13273 / 25500
↖ ↑ ↗
← S 70.244603°
W 34.178467°		 ← 412.92 m → S 70.244603°
W 34.167480°		 →
↑
412.90 m
↓
↑
412.90 m
↓
S 70.248317°
W 34.178467°		 ← 412.85 m →
170 481 m²		 S 70.248317°
W 34.167480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405075073242188 y=0.778213500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405075073242188 × 215)
    floor (0.405075073242188 × 32768)
    floor (13273.5)     		tx = 13273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778213500976562 × 215)
    floor (0.778213500976562 × 32768)
    floor (25500.5)     		ty = 25500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13273 / 25500 ti = "15/13273/25500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13273/25500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13273 ÷ 215
    13273 ÷ 32768     		x = 0.405059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25500 ÷ 215
    25500 ÷ 32768     		y = 0.7781982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.18988037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59652678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74797110774573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59652678} λ = -0.59652678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74797110774573))-π/2
    2×atan(0.174126869962173)-π/2
    2×0.172398356037804-π/2
    0.344796712075608-1.57079632675     		φ = -1.22599961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59652678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.178467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22599961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.244603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13273 KachelY 25500 -0.59652678 -1.22599961 -34.178467 -70.244603
    Oben rechts KachelX + 1 13274 KachelY 25500 -0.59633503 -1.22599961 -34.167480 -70.244603
    Unten links KachelX 13273 KachelY + 1 25501 -0.59652678 -1.22606442 -34.178467 -70.248317
    Unten rechts KachelX + 1 13274 KachelY + 1 25501 -0.59633503 -1.22606442 -34.167480 -70.248317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22599961--1.22606442) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dl = 412.904510000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22599961--1.22606442) × R
    6.48100000000262e-05 × 6371000     		dr = 412.904510000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59652678--0.59633503) × cos(-1.22599961) × R
    0.000191750000000046 × 0.338005365427029 × 6371000     		do = 412.920621116351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59652678--0.59633503) × cos(-1.22606442) × R
    0.000191750000000046 × 0.337944369162712 × 6371000     		du = 412.846105685758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22599961)-sin(-1.22606442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338005365427029-0.337944369162712)×R²
    abs(-0.59633503--0.59652678)×6.09962643169371e-05×R²
    0.000191750000000046×6.09962643169371e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.09962643169371e-05×40589641000000     		ar = 170481.402911511m²