Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13271 / 23643
↖ ↑ ↗
← S 62.078171°
W 34.200439°		 ← 572.02 m → S 62.078171°
W 34.189453°		 →
↑
571.99 m
↓
↑
571.99 m
↓
S 62.083315°
W 34.200439°		 ← 571.93 m →
327 163 m²		 S 62.083315°
W 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405014038085938 y=0.721542358398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405014038085938 × 215)
    floor (0.405014038085938 × 32768)
    floor (13271.5)     		tx = 13271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721542358398438 × 215)
    floor (0.721542358398438 × 32768)
    floor (23643.5)     		ty = 23643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13271 / 23643 ti = "15/13271/23643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13271/23643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13271 ÷ 215
    13271 ÷ 32768     		x = 0.404998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23643 ÷ 215
    23643 ÷ 32768     		y = 0.721527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.19000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59691027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.44305419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39189581736795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59691027} λ = -0.59691027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39189581736795))-π/2
    2×atan(0.248603550664198)-π/2
    2×0.243663926635641-π/2
    0.487327853271281-1.57079632675     		φ = -1.08346847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59691027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.200439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08346847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.078171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13271 KachelY 23643 -0.59691027 -1.08346847 -34.200439 -62.078171
    Oben rechts KachelX + 1 13272 KachelY 23643 -0.59671853 -1.08346847 -34.189453 -62.078171
    Unten links KachelX 13271 KachelY + 1 23644 -0.59691027 -1.08355825 -34.200439 -62.083315
    Unten rechts KachelX + 1 13272 KachelY + 1 23644 -0.59671853 -1.08355825 -34.189453 -62.083315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08346847--1.08355825) × R
    8.97800000001503e-05 × 6371000     		dl = 571.988380000957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08346847--1.08355825) × R
    8.97800000001503e-05 × 6371000     		dr = 571.988380000957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59691027--0.59671853) × cos(-1.08346847) × R
    0.000191739999999996 × 0.468266491008589 × 6371000     		do = 572.022891617709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59691027--0.59671853) × cos(-1.08355825) × R
    0.000191739999999996 × 0.468187160654867 × 6371000     		du = 571.925983598023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08346847)-sin(-1.08355825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468266491008589-0.468187160654867)×R²
    abs(-0.59671853--0.59691027)×7.93303537215961e-05×R²
    0.000191739999999996×7.93303537215961e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.93303537215961e-05×40589641000000     		ar = 327162.732188509m²