Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13271 / 23527
↖ ↑ ↗
← S 61.475514°
W 34.200439°		 ← 583.34 m → S 61.475514°
W 34.189453°		 →
↑
583.33 m
↓
↑
583.33 m
↓
S 61.480760°
W 34.200439°		 ← 583.25 m →
340 253 m²		 S 61.480760°
W 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405014038085938 y=0.718002319335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405014038085938 × 215)
    floor (0.405014038085938 × 32768)
    floor (13271.5)     		tx = 13271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718002319335938 × 215)
    floor (0.718002319335938 × 32768)
    floor (23527.5)     		ty = 23527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13271 / 23527 ti = "15/13271/23527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13271/23527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13271 ÷ 215
    13271 ÷ 32768     		x = 0.404998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23527 ÷ 215
    23527 ÷ 32768     		y = 0.717987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404998779296875 × 2 - 1) × π
    -0.19000244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59691027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.43597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36965309594424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59691027} λ = -0.59691027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36965309594424))-π/2
    2×atan(0.254195125579357)-π/2
    2×0.24892310262598-π/2
    0.497846205251959-1.57079632675     		φ = -1.07295012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59691027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.200439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07295012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.475514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13271 KachelY 23527 -0.59691027 -1.07295012 -34.200439 -61.475514
    Oben rechts KachelX + 1 13272 KachelY 23527 -0.59671853 -1.07295012 -34.189453 -61.475514
    Unten links KachelX 13271 KachelY + 1 23528 -0.59691027 -1.07304168 -34.200439 -61.480760
    Unten rechts KachelX + 1 13272 KachelY + 1 23528 -0.59671853 -1.07304168 -34.189453 -61.480760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07295012--1.07304168) × R
    9.15599999999905e-05 × 6371000     		dl = 583.32875999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07295012--1.07304168) × R
    9.15599999999905e-05 × 6371000     		dr = 583.32875999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59691027--0.59671853) × cos(-1.07295012) × R
    0.000191739999999996 × 0.477534296721619 × 6371000     		do = 583.34421638622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59691027--0.59671853) × cos(-1.07304168) × R
    0.000191739999999996 × 0.477453848903823 × 6371000     		du = 583.245943299754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07295012)-sin(-1.07304168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.477534296721619-0.477453848903823)×R²
    abs(-0.59671853--0.59691027)×8.04478177960921e-05×R²
    0.000191739999999996×8.04478177960921e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.04478177960921e-05×40589641000000     		ar = 340252.79587656m²