Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13270 / 23650
↖ ↑ ↗
← S 62.114161°
W 34.211426°		 ← 571.37 m → S 62.114161°
W 34.200439°		 →
↑
571.35 m
↓
↑
571.35 m
↓
S 62.119299°
W 34.211426°		 ← 571.28 m →
326 428 m²		 S 62.119299°
W 34.200439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404983520507812 y=0.721755981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404983520507812 × 215)
    floor (0.404983520507812 × 32768)
    floor (13270.5)     		tx = 13270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721755981445312 × 215)
    floor (0.721755981445312 × 32768)
    floor (23650.5)     		ty = 23650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13270 / 23650 ti = "15/13270/23650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13270/23650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13270 ÷ 215
    13270 ÷ 32768     		x = 0.40496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23650 ÷ 215
    23650 ÷ 32768     		y = 0.72174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.1900634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59710202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.4434814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39323805055731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59710202} λ = -0.59710202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39323805055731))-π/2
    2×atan(0.24827009056817)-π/2
    2×0.243349851525796-π/2
    0.486699703051592-1.57079632675     		φ = -1.08409662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59710202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.211426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08409662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.114161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13270 KachelY 23650 -0.59710202 -1.08409662 -34.211426 -62.114161
    Oben rechts KachelX + 1 13271 KachelY 23650 -0.59691027 -1.08409662 -34.200439 -62.114161
    Unten links KachelX 13270 KachelY + 1 23651 -0.59710202 -1.08418630 -34.211426 -62.119299
    Unten rechts KachelX + 1 13271 KachelY + 1 23651 -0.59691027 -1.08418630 -34.200439 -62.119299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08409662--1.08418630) × R
    8.96800000000919e-05 × 6371000     		dl = 571.351280000586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08409662--1.08418630) × R
    8.96800000000919e-05 × 6371000     		dr = 571.351280000586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59710202--0.59691027) × cos(-1.08409662) × R
    0.000191750000000046 × 0.467711373308364 × 6371000     		do = 571.374571305038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59710202--0.59691027) × cos(-1.08418630) × R
    0.000191750000000046 × 0.467632104956822 × 6371000     		du = 571.27773397551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08409662)-sin(-1.08418630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467711373308364-0.467632104956822)×R²
    abs(-0.59691027--0.59710202)×7.92683515428161e-05×R²
    0.000191750000000046×7.92683515428161e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.92683515428161e-05×40589641000000     		ar = 326427.928827795m²