Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13270 / 23638
↖ ↑ ↗
← S 62.052437°
W 34.211426°		 ← 572.54 m → S 62.052437°
W 34.200439°		 →
↑
572.50 m
↓
↑
572.50 m
↓
S 62.057586°
W 34.211426°		 ← 572.44 m →
327 749 m²		 S 62.057586°
W 34.200439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404983520507812 y=0.721389770507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404983520507812 × 215)
    floor (0.404983520507812 × 32768)
    floor (13270.5)     		tx = 13270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721389770507812 × 215)
    floor (0.721389770507812 × 32768)
    floor (23638.5)     		ty = 23638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13270 / 23638 ti = "15/13270/23638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13270/23638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13270 ÷ 215
    13270 ÷ 32768     		x = 0.40496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23638 ÷ 215
    23638 ÷ 32768     		y = 0.72137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40496826171875 × 2 - 1) × π
    -0.1900634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59710202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72137451171875 × 2 - 1) × π
    -0.4427490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39093707937555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59710202} λ = -0.59710202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39093707937555))-π/2
    2×atan(0.248842010625312)-π/2
    2×0.243888494169724-π/2
    0.487776988339449-1.57079632675     		φ = -1.08301934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59710202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.211426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08301934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.052437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13270 KachelY 23638 -0.59710202 -1.08301934 -34.211426 -62.052437
    Oben rechts KachelX + 1 13271 KachelY 23638 -0.59691027 -1.08301934 -34.200439 -62.052437
    Unten links KachelX 13270 KachelY + 1 23639 -0.59710202 -1.08310920 -34.211426 -62.057586
    Unten rechts KachelX + 1 13271 KachelY + 1 23639 -0.59691027 -1.08310920 -34.200439 -62.057586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08301934--1.08310920) × R
    8.98599999998861e-05 × 6371000     		dl = 572.498059999275m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08301934--1.08310920) × R
    8.98599999998861e-05 × 6371000     		dr = 572.498059999275m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59710202--0.59691027) × cos(-1.08301934) × R
    0.000191750000000046 × 0.468663289324536 × 6371000     		do = 572.537469273096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59710202--0.59691027) × cos(-1.08310920) × R
    0.000191750000000046 × 0.468583907185556 × 6371000     		du = 572.44049293637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08301934)-sin(-1.08310920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468663289324536-0.468583907185556)×R²
    abs(-0.59691027--0.59710202)×7.93821389795113e-05×R²
    0.000191750000000046×7.93821389795113e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.93821389795113e-05×40589641000000     		ar = 327748.831273639m²