Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13269 / 23645
↖ ↑ ↗
← S 62.088458°
W 34.222412°		 ← 571.86 m → S 62.088458°
W 34.211426°		 →
↑
571.80 m
↓
↑
571.80 m
↓
S 62.093600°
W 34.222412°		 ← 571.76 m →
326 960 m²		 S 62.093600°
W 34.211426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404953002929688 y=0.721603393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404953002929688 × 215)
    floor (0.404953002929688 × 32768)
    floor (13269.5)     		tx = 13269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721603393554688 × 215)
    floor (0.721603393554688 × 32768)
    floor (23645.5)     		ty = 23645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13269 / 23645 ti = "15/13269/23645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13269/23645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13269 ÷ 215
    13269 ÷ 32768     		x = 0.404937744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23645 ÷ 215
    23645 ÷ 32768     		y = 0.721588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.19012451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59729377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.44317626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39227931256491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59729377} λ = -0.59729377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39227931256491))-π/2
    2×atan(0.248508230675118)-π/2
    2×0.243574152872466-π/2
    0.487148305744932-1.57079632675     		φ = -1.08364802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59729377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.222412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08364802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.088458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13269 KachelY 23645 -0.59729377 -1.08364802 -34.222412 -62.088458
    Oben rechts KachelX + 1 13270 KachelY 23645 -0.59710202 -1.08364802 -34.211426 -62.088458
    Unten links KachelX 13269 KachelY + 1 23646 -0.59729377 -1.08373777 -34.222412 -62.093600
    Unten rechts KachelX + 1 13270 KachelY + 1 23646 -0.59710202 -1.08373777 -34.211426 -62.093600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08364802--1.08373777) × R
    8.97499999998885e-05 × 6371000     		dl = 571.79724999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08364802--1.08373777) × R
    8.97499999998885e-05 × 6371000     		dr = 571.79724999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59729377--0.59710202) × cos(-1.08364802) × R
    0.000191749999999935 × 0.468107835364061 × 6371000     		do = 571.858904913081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59729377--0.59710202) × cos(-1.08373777) × R
    0.000191749999999935 × 0.468028523975203 × 6371000     		du = 571.76201500748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08364802)-sin(-1.08373777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468107835364061-0.468028523975203)×R²
    abs(-0.59710202--0.59729377)×7.93113888575836e-05×R²
    0.000191749999999935×7.93113888575836e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.93113888575836e-05×40589641000000     		ar = 326959.648745854m²