Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13269 / 23637
↖ ↑ ↗
← S 62.047288°
W 34.222412°		 ← 572.63 m → S 62.047288°
W 34.211426°		 →
↑
572.56 m
↓
↑
572.56 m
↓
S 62.052437°
W 34.222412°		 ← 572.54 m →
327 841 m²		 S 62.052437°
W 34.211426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404953002929688 y=0.721359252929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404953002929688 × 215)
    floor (0.404953002929688 × 32768)
    floor (13269.5)     		tx = 13269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721359252929688 × 215)
    floor (0.721359252929688 × 32768)
    floor (23637.5)     		ty = 23637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13269 / 23637 ti = "15/13269/23637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13269/23637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13269 ÷ 215
    13269 ÷ 32768     		x = 0.404937744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23637 ÷ 215
    23637 ÷ 32768     		y = 0.721343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.19012451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59729377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.44268798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39074533177707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59729377} λ = -0.59729377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39074533177707))-π/2
    2×atan(0.248889730058147)-π/2
    2×0.243933430505579-π/2
    0.487866861011158-1.57079632675     		φ = -1.08292947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59729377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.222412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08292947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.047288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13269 KachelY 23637 -0.59729377 -1.08292947 -34.222412 -62.047288
    Oben rechts KachelX + 1 13270 KachelY 23637 -0.59710202 -1.08292947 -34.211426 -62.047288
    Unten links KachelX 13269 KachelY + 1 23638 -0.59729377 -1.08301934 -34.222412 -62.052437
    Unten rechts KachelX + 1 13270 KachelY + 1 23638 -0.59710202 -1.08301934 -34.211426 -62.052437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08292947--1.08301934) × R
    8.98700000000474e-05 × 6371000     		dl = 572.561770000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08292947--1.08301934) × R
    8.98700000000474e-05 × 6371000     		dr = 572.561770000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59729377--0.59710202) × cos(-1.08292947) × R
    0.000191749999999935 × 0.468742676512492 × 6371000     		do = 572.634451777519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59729377--0.59710202) × cos(-1.08301934) × R
    0.000191749999999935 × 0.468663289324536 × 6371000     		du = 572.537469272765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08292947)-sin(-1.08301934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468742676512492-0.468663289324536)×R²
    abs(-0.59710202--0.59729377)×7.93871879558039e-05×R²
    0.000191749999999935×7.93871879558039e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.93871879558039e-05×40589641000000     		ar = 327840.831255882m²