Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13268 / 23636
↖ ↑ ↗
← S 62.042138°
W 34.233399°		 ← 572.73 m → S 62.042138°
W 34.222412°		 →
↑
572.69 m
↓
↑
572.69 m
↓
S 62.047288°
W 34.233399°		 ← 572.63 m →
327 969 m²		 S 62.047288°
W 34.222412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404922485351562 y=0.721328735351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404922485351562 × 215)
    floor (0.404922485351562 × 32768)
    floor (13268.5)     		tx = 13268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721328735351562 × 215)
    floor (0.721328735351562 × 32768)
    floor (23636.5)     		ty = 23636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13268 / 23636 ti = "15/13268/23636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13268/23636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13268 ÷ 215
    13268 ÷ 32768     		x = 0.4049072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23636 ÷ 215
    23636 ÷ 32768     		y = 0.7213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59748552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.442626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39055358417859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59748552} λ = -0.59748552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39055358417859))-π/2
    2×atan(0.248937458641947)-π/2
    2×0.243978374453274-π/2
    0.487956748906548-1.57079632675     		φ = -1.08283958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59748552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.233399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08283958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.042138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13268 KachelY 23636 -0.59748552 -1.08283958 -34.233399 -62.042138
    Oben rechts KachelX + 1 13269 KachelY 23636 -0.59729377 -1.08283958 -34.222412 -62.042138
    Unten links KachelX 13268 KachelY + 1 23637 -0.59748552 -1.08292947 -34.233399 -62.047288
    Unten rechts KachelX + 1 13269 KachelY + 1 23637 -0.59729377 -1.08292947 -34.222412 -62.047288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08283958--1.08292947) × R
    8.98900000001479e-05 × 6371000     		dl = 572.689190000942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08283958--1.08292947) × R
    8.98900000001479e-05 × 6371000     		dr = 572.689190000942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59748552--0.59729377) × cos(-1.08283958) × R
    0.000191750000000046 × 0.468822077580445 × 6371000     		do = 572.731451238954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59748552--0.59729377) × cos(-1.08292947) × R
    0.000191750000000046 × 0.468742676512492 × 6371000     		du = 572.63445177785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08283958)-sin(-1.08292947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468822077580445-0.468742676512492)×R²
    abs(-0.59729377--0.59748552)×7.94010679534551e-05×R²
    0.000191750000000046×7.94010679534551e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.94010679534551e-05×40589641000000     		ar = 327969.335847631m²