Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13267 / 2896
↖ ↑ ↗
← N 81.387650°
W 34.244385°		 ← 182.93 m → N 81.387650°
W 34.233399°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 81.386005°
W 34.244385°		 ← 182.96 m →
33 475 m²		 N 81.386005°
W 34.233399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404891967773438 y=0.0883941650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404891967773438 × 215)
    floor (0.404891967773438 × 32768)
    floor (13267.5)     		tx = 13267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0883941650390625 × 215)
    floor (0.0883941650390625 × 32768)
    floor (2896.5)     		ty = 2896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13267 / 2896 ti = "15/13267/2896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13267/2896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13267 ÷ 215
    13267 ÷ 32768     		x = 0.404876708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2896 ÷ 215
    2896 ÷ 32768     		y = 0.08837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404876708984375 × 2 - 1) × π
    -0.19024658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59767726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08837890625 × 2 - 1) × π
    0.8232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58629160830127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59767726} λ = -0.59767726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58629160830127))-π/2
    2×atan(13.2804311322778)-π/2
    2×1.49563939657716-π/2
    2.99127879315432-1.57079632675     		φ = 1.42048247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59767726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.244385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42048247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.387650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13267 KachelY 2896 -0.59767726 1.42048247 -34.244385 81.387650
    Oben rechts KachelX + 1 13268 KachelY 2896 -0.59748552 1.42048247 -34.233399 81.387650
    Unten links KachelX 13267 KachelY + 1 2897 -0.59767726 1.42045375 -34.244385 81.386005
    Unten rechts KachelX + 1 13268 KachelY + 1 2897 -0.59748552 1.42045375 -34.233399 81.386005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42048247-1.42045375) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42048247-1.42045375) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59767726--0.59748552) × cos(1.42048247) × R
    0.000191739999999996 × 0.149748457629629 × 6371000     		do = 182.929052993077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59767726--0.59748552) × cos(1.42045375) × R
    0.000191739999999996 × 0.149776853724795 × 6371000     		du = 182.963740968364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42048247)-sin(1.42045375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149748457629629-0.149776853724795)×R²
    abs(-0.59748552--0.59767726)×2.83960951661943e-05×R²
    0.000191739999999996×2.83960951661943e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.83960951661943e-05×40589641000000     		ar = 33474.6389437575m²