Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13267 / 21633
↖ ↑ ↗
← S 49.845068°
W 34.244385°		 ← 787.74 m → S 49.845068°
W 34.233399°		 →
↑
787.71 m
↓
↑
787.71 m
↓
S 49.852152°
W 34.244385°		 ← 787.63 m →
620 466 m²		 S 49.852152°
W 34.233399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404891967773438 y=0.660202026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404891967773438 × 215)
    floor (0.404891967773438 × 32768)
    floor (13267.5)     		tx = 13267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660202026367188 × 215)
    floor (0.660202026367188 × 32768)
    floor (21633.5)     		ty = 21633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13267 / 21633 ti = "15/13267/21633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13267/21633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13267 ÷ 215
    13267 ÷ 32768     		x = 0.404876708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21633 ÷ 215
    21633 ÷ 32768     		y = 0.660186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404876708984375 × 2 - 1) × π
    -0.19024658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59767726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660186767578125 × 2 - 1) × π
    -0.32037353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.0064831444227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59767726} λ = -0.59767726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0064831444227))-π/2
    2×atan(0.365502140143856)-π/2
    2×0.350417890835488-π/2
    0.700835781670976-1.57079632675     		φ = -0.86996055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59767726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.244385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86996055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.845068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13267 KachelY 21633 -0.59767726 -0.86996055 -34.244385 -49.845068
    Oben rechts KachelX + 1 13268 KachelY 21633 -0.59748552 -0.86996055 -34.233399 -49.845068
    Unten links KachelX 13267 KachelY + 1 21634 -0.59767726 -0.87008419 -34.244385 -49.852152
    Unten rechts KachelX + 1 13268 KachelY + 1 21634 -0.59748552 -0.87008419 -34.233399 -49.852152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86996055--0.87008419) × R
    0.00012363999999998 × 6371000     		dl = 787.710439999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86996055--0.87008419) × R
    0.00012363999999998 × 6371000     		dr = 787.710439999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59767726--0.59748552) × cos(-0.86996055) × R
    0.000191739999999996 × 0.644856699514786 × 6371000     		do = 787.741170932376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59767726--0.59748552) × cos(-0.87008419) × R
    0.000191739999999996 × 0.644762196101618 × 6371000     		du = 787.625727874403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86996055)-sin(-0.87008419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644856699514786-0.644762196101618)×R²
    abs(-0.59748552--0.59767726)×9.4503413168523e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4503413168523e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4503413168523e-05×40589641000000     		ar = 620466.477301072m²