Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13265 / 5625
↖ ↑ ↗
← N 49.023461°
E111.467285°		 ← 1 602.18 m → N 49.023461°
E111.489258°		 →
↑
1 602.37 m
↓
↑
1 602.37 m
↓
N 49.009051°
E111.467285°		 ← 1 602.64 m →
2 567 657 m²		 N 49.009051°
E111.489258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809661865234375 y=0.343353271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809661865234375 × 214)
    floor (0.809661865234375 × 16384)
    floor (13265.5)     		tx = 13265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343353271484375 × 214)
    floor (0.343353271484375 × 16384)
    floor (5625.5)     		ty = 5625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13265 / 5625 ti = "14/13265/5625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13265/5625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13265 ÷ 214
    13265 ÷ 16384     		x = 0.80963134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5625 ÷ 214
    5625 ÷ 16384     		y = 0.34332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80963134765625 × 2 - 1) × π
    0.6192626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94547113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34332275390625 × 2 - 1) × π
    0.3133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.984432170597473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94547113} λ = 1.94547113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984432170597473))-π/2
    2×atan(2.67629177572069)-π/2
    2×1.21320857001704-π/2
    2.42641714003409-1.57079632675     		φ = 0.85562081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94547113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.467285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85562081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.023461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13265 KachelY 5625 1.94547113 0.85562081 111.467285 49.023461
    Oben rechts KachelX + 1 13266 KachelY 5625 1.94585463 0.85562081 111.489258 49.023461
    Unten links KachelX 13265 KachelY + 1 5626 1.94547113 0.85536930 111.467285 49.009051
    Unten rechts KachelX + 1 13266 KachelY + 1 5626 1.94585463 0.85536930 111.489258 49.009051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85562081-0.85536930) × R
    0.00025151000000001 × 6371000     		dl = 1602.37021000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85562081-0.85536930) × R
    0.00025151000000001 × 6371000     		dr = 1602.37021000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94547113-1.94585463) × cos(0.85562081) × R
    0.00038349999999987 × 0.655749938143483 × 6371000     		do = 1602.17972524176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94547113-1.94585463) × cos(0.85536930) × R
    0.00038349999999987 × 0.655939801957449 × 6371000     		du = 1602.64361541635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85562081)-sin(0.85536930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655749938143483-0.655939801957449)×R²
    abs(1.94585463-1.94547113)×0.000189863813966018×R²
    0.00038349999999987×0.000189863813966018×6371000²
    0.00038349999999987×0.000189863813966018×40589641000000     		ar = 2567656.73822604m²