Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13265 / 23477
↖ ↑ ↗
← S 61.212089°
W 34.266357°		 ← 588.30 m → S 61.212089°
W 34.255371°		 →
↑
588.23 m
↓
↑
588.23 m
↓
S 61.217379°
W 34.266357°		 ← 588.20 m →
346 031 m²		 S 61.217379°
W 34.255371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404830932617188 y=0.716476440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404830932617188 × 215)
    floor (0.404830932617188 × 32768)
    floor (13265.5)     		tx = 13265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716476440429688 × 215)
    floor (0.716476440429688 × 32768)
    floor (23477.5)     		ty = 23477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13265 / 23477 ti = "15/13265/23477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13265/23477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13265 ÷ 215
    13265 ÷ 32768     		x = 0.404815673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23477 ÷ 215
    23477 ÷ 32768     		y = 0.716461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404815673828125 × 2 - 1) × π
    -0.19036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59806076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.43292236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36006571602023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59806076} λ = -0.59806076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36006571602023))-π/2
    2×atan(0.256643910782939)-π/2
    2×0.251221914476456-π/2
    0.502443828952912-1.57079632675     		φ = -1.06835250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59806076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.266357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06835250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.212089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13265 KachelY 23477 -0.59806076 -1.06835250 -34.266357 -61.212089
    Oben rechts KachelX + 1 13266 KachelY 23477 -0.59786901 -1.06835250 -34.255371 -61.212089
    Unten links KachelX 13265 KachelY + 1 23478 -0.59806076 -1.06844483 -34.266357 -61.217379
    Unten rechts KachelX + 1 13266 KachelY + 1 23478 -0.59786901 -1.06844483 -34.255371 -61.217379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06835250--1.06844483) × R
    9.23299999999738e-05 × 6371000     		dl = 588.234429999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06835250--1.06844483) × R
    9.23299999999738e-05 × 6371000     		dr = 588.234429999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59806076--0.59786901) × cos(-1.06835250) × R
    0.000191749999999935 × 0.481568764615611 × 6371000     		do = 588.303304428242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59806076--0.59786901) × cos(-1.06844483) × R
    0.000191749999999935 × 0.481487843783865 × 6371000     		du = 588.204448364039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06835250)-sin(-1.06844483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481568764615611-0.481487843783865)×R²
    abs(-0.59786901--0.59806076)×8.09208317460453e-05×R²
    0.000191749999999935×8.09208317460453e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.09208317460453e-05×40589641000000     		ar = 346031.183922611m²