Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13264 / 25520
↖ ↑ ↗
← S 70.318738°
W 34.277344°		 ← 411.43 m → S 70.318738°
W 34.266357°		 →
↑
411.38 m
↓
↑
411.38 m
↓
S 70.322438°
W 34.277344°		 ← 411.36 m →
169 238 m²		 S 70.322438°
W 34.266357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404800415039062 y=0.778823852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404800415039062 × 215)
    floor (0.404800415039062 × 32768)
    floor (13264.5)     		tx = 13264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778823852539062 × 215)
    floor (0.778823852539062 × 32768)
    floor (25520.5)     		ty = 25520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13264 / 25520 ti = "15/13264/25520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13264/25520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13264 ÷ 215
    13264 ÷ 32768     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25520 ÷ 215
    25520 ÷ 32768     		y = 0.77880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    -0.5576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75180605971533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75180605971533))-π/2
    2×atan(0.173460380573478)-π/2
    2×0.171751407256281-π/2
    0.343502814512562-1.57079632675     		φ = -1.22729351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22729351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.318738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13264 KachelY 25520 -0.59825251 -1.22729351 -34.277344 -70.318738
    Oben rechts KachelX + 1 13265 KachelY 25520 -0.59806076 -1.22729351 -34.266357 -70.318738
    Unten links KachelX 13264 KachelY + 1 25521 -0.59825251 -1.22735808 -34.277344 -70.322438
    Unten rechts KachelX + 1 13265 KachelY + 1 25521 -0.59806076 -1.22735808 -34.266357 -70.322438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22729351--1.22735808) × R
    6.45699999999305e-05 × 6371000     		dl = 411.375469999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22729351--1.22735808) × R
    6.45699999999305e-05 × 6371000     		dr = 411.375469999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59806076) × cos(-1.22729351) × R
    0.000191750000000046 × 0.336787336368205 × 6371000     		do = 411.432629010451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59806076) × cos(-1.22735808) × R
    0.000191750000000046 × 0.33672653779778 × 6371000     		du = 411.358355090476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22729351)-sin(-1.22735808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336787336368205-0.33672653779778)×R²
    abs(-0.59806076--0.59825251)×6.07985704249026e-05×R²
    0.000191750000000046×6.07985704249026e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.07985704249026e-05×40589641000000     		ar = 169238.013956112m²