Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13262 / 25526
↖ ↑ ↗
← S 70.340927°
W 34.299316°		 ← 410.99 m → S 70.340927°
W 34.288330°		 →
↑
410.93 m
↓
↑
410.93 m
↓
S 70.344622°
W 34.299316°		 ← 410.91 m →
168 871 m²		 S 70.344622°
W 34.288330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404739379882812 y=0.779006958007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404739379882812 × 215)
    floor (0.404739379882812 × 32768)
    floor (13262.5)     		tx = 13262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779006958007812 × 215)
    floor (0.779006958007812 × 32768)
    floor (25526.5)     		ty = 25526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13262 / 25526 ti = "15/13262/25526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13262/25526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13262 ÷ 215
    13262 ÷ 32768     		x = 0.40472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25526 ÷ 215
    25526 ÷ 32768     		y = 0.77899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1905517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59863600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77899169921875 × 2 - 1) × π
    -0.5579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75295654530621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59863600} λ = -0.59863600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75295654530621))-π/2
    2×atan(0.17326093165859)-π/2
    2×0.171557777669507-π/2
    0.343115555339014-1.57079632675     		φ = -1.22768077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59863600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.299316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22768077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.340927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13262 KachelY 25526 -0.59863600 -1.22768077 -34.299316 -70.340927
    Oben rechts KachelX + 1 13263 KachelY 25526 -0.59844425 -1.22768077 -34.288330 -70.340927
    Unten links KachelX 13262 KachelY + 1 25527 -0.59863600 -1.22774527 -34.299316 -70.344622
    Unten rechts KachelX + 1 13263 KachelY + 1 25527 -0.59844425 -1.22774527 -34.288330 -70.344622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22768077--1.22774527) × R
    6.44999999999119e-05 × 6371000     		dl = 410.929499999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22768077--1.22774527) × R
    6.44999999999119e-05 × 6371000     		dr = 410.929499999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59863600--0.59844425) × cos(-1.22768077) × R
    0.000191749999999935 × 0.336422674565872 × 6371000     		do = 410.987143839506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59863600--0.59844425) × cos(-1.22774527) × R
    0.000191749999999935 × 0.336361933500568 × 6371000     		du = 410.912940170044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22768077)-sin(-1.22774527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336422674565872-0.336361933500568)×R²
    abs(-0.59844425--0.59863600)×6.07410653040708e-05×R²
    0.000191749999999935×6.07410653040708e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.07410653040708e-05×40589641000000     		ar = 168871.495343752m²