Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13262 / 23473
↖ ↑ ↗
← S 61.190920°
W 34.299316°		 ← 588.70 m → S 61.190920°
W 34.288330°		 →
↑
588.62 m
↓
↑
588.62 m
↓
S 61.196213°
W 34.299316°		 ← 588.60 m →
346 489 m²		 S 61.196213°
W 34.288330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404739379882812 y=0.716354370117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404739379882812 × 215)
    floor (0.404739379882812 × 32768)
    floor (13262.5)     		tx = 13262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716354370117188 × 215)
    floor (0.716354370117188 × 32768)
    floor (23473.5)     		ty = 23473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13262 / 23473 ti = "15/13262/23473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13262/23473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13262 ÷ 215
    13262 ÷ 32768     		x = 0.40472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23473 ÷ 215
    23473 ÷ 32768     		y = 0.716339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.1905517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59863600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.43267822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.35929872562631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59863600} λ = -0.59863600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35929872562631))-π/2
    2×atan(0.256840829704975)-π/2
    2×0.251406655865541-π/2
    0.502813311731082-1.57079632675     		φ = -1.06798302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59863600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.299316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06798302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.190920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13262 KachelY 23473 -0.59863600 -1.06798302 -34.299316 -61.190920
    Oben rechts KachelX + 1 13263 KachelY 23473 -0.59844425 -1.06798302 -34.288330 -61.190920
    Unten links KachelX 13262 KachelY + 1 23474 -0.59863600 -1.06807541 -34.299316 -61.196213
    Unten rechts KachelX + 1 13263 KachelY + 1 23474 -0.59844425 -1.06807541 -34.288330 -61.196213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06798302--1.06807541) × R
    9.23900000000533e-05 × 6371000     		dl = 588.616690000339m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06798302--1.06807541) × R
    9.23900000000533e-05 × 6371000     		dr = 588.616690000339m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59863600--0.59844425) × cos(-1.06798302) × R
    0.000191749999999935 × 0.481892547079642 × 6371000     		do = 588.698849794764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59863600--0.59844425) × cos(-1.06807541) × R
    0.000191749999999935 × 0.481811590103828 × 6371000     		du = 588.599949575549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06798302)-sin(-1.06807541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481892547079642-0.481811590103828)×R²
    abs(-0.59844425--0.59863600)×8.09569758132844e-05×R²
    0.000191749999999935×8.09569758132844e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.09569758132844e-05×40589641000000     		ar = 346488.861459531m²