Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13261 / 23475
↖ ↑ ↗
← S 61.201506°
W 34.310303°		 ← 588.50 m → S 61.201506°
W 34.299316°		 →
↑
588.43 m
↓
↑
588.43 m
↓
S 61.206798°
W 34.310303°		 ← 588.40 m →
346 260 m²		 S 61.206798°
W 34.299316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404708862304688 y=0.716415405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404708862304688 × 215)
    floor (0.404708862304688 × 32768)
    floor (13261.5)     		tx = 13261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716415405273438 × 215)
    floor (0.716415405273438 × 32768)
    floor (23475.5)     		ty = 23475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13261 / 23475 ti = "15/13261/23475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13261/23475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13261 ÷ 215
    13261 ÷ 32768     		x = 0.404693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23475 ÷ 215
    23475 ÷ 32768     		y = 0.716400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.19061279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59882775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.43280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.35968222082327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59882775} λ = -0.59882775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35968222082327))-π/2
    2×atan(0.256742351364592)-π/2
    2×0.251314269649754-π/2
    0.502628539299509-1.57079632675     		φ = -1.06816779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59882775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.310303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06816779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.201506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13261 KachelY 23475 -0.59882775 -1.06816779 -34.310303 -61.201506
    Oben rechts KachelX + 1 13262 KachelY 23475 -0.59863600 -1.06816779 -34.299316 -61.201506
    Unten links KachelX 13261 KachelY + 1 23476 -0.59882775 -1.06826015 -34.310303 -61.206798
    Unten rechts KachelX + 1 13262 KachelY + 1 23476 -0.59863600 -1.06826015 -34.299316 -61.206798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06816779--1.06826015) × R
    9.23600000000135e-05 × 6371000     		dl = 588.425560000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06816779--1.06826015) × R
    9.23600000000135e-05 × 6371000     		dr = 588.425560000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59882775--0.59863600) × cos(-1.06816779) × R
    0.000191750000000046 × 0.481730637778507 × 6371000     		do = 588.501055037899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59882775--0.59863600) × cos(-1.06826015) × R
    0.000191750000000046 × 0.481649698869343 × 6371000     		du = 588.402176889611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06816779)-sin(-1.06826015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481730637778507-0.481649698869343)×R²
    abs(-0.59863600--0.59882775)×8.09389091647184e-05×R²
    0.000191750000000046×8.09389091647184e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.09389091647184e-05×40589641000000     		ar = 346259.971902439m²