Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13261 / 12501
↖ ↑ ↗
← S 68.310027°
E111.379394°		 ← 903 m → S 68.310027°
E111.401367°		 →
↑
902.83 m
↓
↑
902.83 m
↓
S 68.318146°
E111.379394°		 ← 902.68 m →
815 112 m²		 S 68.318146°
E111.401367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809417724609375 y=0.763031005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809417724609375 × 214)
    floor (0.809417724609375 × 16384)
    floor (13261.5)     		tx = 13261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763031005859375 × 214)
    floor (0.763031005859375 × 16384)
    floor (12501.5)     		ty = 12501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13261 / 12501 ti = "14/13261/12501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13261/12501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13261 ÷ 214
    13261 ÷ 16384     		x = 0.80938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12501 ÷ 214
    12501 ÷ 16384     		y = 0.76300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80938720703125 × 2 - 1) × π
    0.6187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94393715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76300048828125 × 2 - 1) × π
    -0.5260009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65248080370258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94393715} λ = 1.94393715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65248080370258))-π/2
    2×atan(0.191574060982705)-π/2
    2×0.189280724188691-π/2
    0.378561448377381-1.57079632675     		φ = -1.19223488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94393715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.379394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19223488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.310027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13261 KachelY 12501 1.94393715 -1.19223488 111.379394 -68.310027
    Oben rechts KachelX + 1 13262 KachelY 12501 1.94432065 -1.19223488 111.401367 -68.310027
    Unten links KachelX 13261 KachelY + 1 12502 1.94393715 -1.19237659 111.379394 -68.318146
    Unten rechts KachelX + 1 13262 KachelY + 1 12502 1.94432065 -1.19237659 111.401367 -68.318146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19223488--1.19237659) × R
    0.000141710000000073 × 6371000     		dl = 902.834410000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19223488--1.19237659) × R
    0.000141710000000073 × 6371000     		dr = 902.834410000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94393715-1.94432065) × cos(-1.19223488) × R
    0.000383500000000092 × 0.369584152587885 × 6371000     		do = 902.997013958915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94393715-1.94432065) × cos(-1.19237659) × R
    0.000383500000000092 × 0.369452472333197 × 6371000     		du = 902.675282423762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19223488)-sin(-1.19237659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369584152587885-0.369452472333197)×R²
    abs(1.94432065-1.94393715)×0.000131680254687516×R²
    0.000383500000000092×0.000131680254687516×6371000²
    0.000383500000000092×0.000131680254687516×40589641000000     		ar = 815111.542543573m²