Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13260 / 23474
↖ ↑ ↗
← S 61.196213°
W 34.321289°		 ← 588.60 m → S 61.196213°
W 34.310303°		 →
↑
588.55 m
↓
↑
588.55 m
↓
S 61.201506°
W 34.321289°		 ← 588.50 m →
346 393 m²		 S 61.201506°
W 34.310303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404678344726562 y=0.716384887695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404678344726562 × 215)
    floor (0.404678344726562 × 32768)
    floor (13260.5)     		tx = 13260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716384887695312 × 215)
    floor (0.716384887695312 × 32768)
    floor (23474.5)     		ty = 23474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13260 / 23474 ti = "15/13260/23474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13260/23474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13260 ÷ 215
    13260 ÷ 32768     		x = 0.4046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23474 ÷ 215
    23474 ÷ 32768     		y = 0.71636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4046630859375 × 2 - 1) × π
    -0.190673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59901950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.4327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35949047322479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59901950} λ = -0.59901950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35949047322479))-π/2
    2×atan(0.256791585814038)-π/2
    2×0.251360458876882-π/2
    0.502720917753763-1.57079632675     		φ = -1.06807541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59901950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.321289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06807541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.196213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13260 KachelY 23474 -0.59901950 -1.06807541 -34.321289 -61.196213
    Oben rechts KachelX + 1 13261 KachelY 23474 -0.59882775 -1.06807541 -34.310303 -61.196213
    Unten links KachelX 13260 KachelY + 1 23475 -0.59901950 -1.06816779 -34.321289 -61.201506
    Unten rechts KachelX + 1 13261 KachelY + 1 23475 -0.59882775 -1.06816779 -34.310303 -61.201506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06807541--1.06816779) × R
    9.2379999999892e-05 × 6371000     		dl = 588.552979999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06807541--1.06816779) × R
    9.2379999999892e-05 × 6371000     		dr = 588.552979999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59901950--0.59882775) × cos(-1.06807541) × R
    0.000191750000000046 × 0.481811590103828 × 6371000     		do = 588.59994957589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59901950--0.59882775) × cos(-1.06816779) × R
    0.000191750000000046 × 0.481730637778507 × 6371000     		du = 588.501055037899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06807541)-sin(-1.06816779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481811590103828-0.481730637778507)×R²
    abs(-0.59882775--0.59901950)×8.09523253210709e-05×R²
    0.000191750000000046×8.09523253210709e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.09523253210709e-05×40589641000000     		ar = 346393.1522594m²