Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1326 / 2869
↖ ↑ ↗
← S 58.309489°
W 63.457031°		 ← 5 134.05 m → S 58.309489°
W 63.369141°		 →
↑
5 130.69 m
↓
↑
5 130.69 m
↓
S 58.355631°
W 63.457031°		 ← 5 127.35 m →
26 324 057 m²		 S 58.355631°
W 63.369141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3238525390625 y=0.7005615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3238525390625 × 212)
    floor (0.3238525390625 × 4096)
    floor (1326.5)     		tx = 1326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7005615234375 × 212)
    floor (0.7005615234375 × 4096)
    floor (2869.5)     		ty = 2869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1326 / 2869 ti = "12/1326/2869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1326/2869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1326 ÷ 212
    1326 ÷ 4096     		x = 0.32373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2869 ÷ 212
    2869 ÷ 4096     		y = 0.700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32373046875 × 2 - 1) × π
    -0.3525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.10753413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700439453125 × 2 - 1) × π
    -0.40087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25939822681812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10753413} λ = -1.10753413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25939822681812))-π/2
    2×atan(0.283824773256108)-π/2
    2×0.276551880694545-π/2
    0.553103761389091-1.57079632675     		φ = -1.01769257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10753413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.457031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01769257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.309489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1326 KachelY 2869 -1.10753413 -1.01769257 -63.457031 -58.309489
    Oben rechts KachelX + 1 1327 KachelY 2869 -1.10600015 -1.01769257 -63.369141 -58.309489
    Unten links KachelX 1326 KachelY + 1 2870 -1.10753413 -1.01849789 -63.457031 -58.355631
    Unten rechts KachelX + 1 1327 KachelY + 1 2870 -1.10600015 -1.01849789 -63.369141 -58.355631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01769257--1.01849789) × R
    0.000805319999999998 × 6371000     		dl = 5130.69371999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01769257--1.01849789) × R
    0.000805319999999998 × 6371000     		dr = 5130.69371999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10753413--1.10600015) × cos(-1.01769257) × R
    0.00153397999999982 × 0.525330735859434 × 6371000     		do = 5134.05023161518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10753413--1.10600015) × cos(-1.01849789) × R
    0.00153397999999982 × 0.524645320306961 × 6371000     		du = 5127.35167461915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01769257)-sin(-1.01849789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.525330735859434-0.524645320306961)×R²
    abs(-1.10600015--1.10753413)×0.000685415552472479×R²
    0.00153397999999982×0.000685415552472479×6371000²
    0.00153397999999982×0.000685415552472479×40589641000000     		ar = 26324056.5820456m²