Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13259 / 23590
↖ ↑ ↗
← S 61.804284°
W 34.332276°		 ← 577.21 m → S 61.804284°
W 34.321289°		 →
↑
577.15 m
↓
↑
577.15 m
↓
S 61.809475°
W 34.332276°		 ← 577.11 m →
333 106 m²		 S 61.809475°
W 34.321289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404647827148438 y=0.719924926757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404647827148438 × 215)
    floor (0.404647827148438 × 32768)
    floor (13259.5)     		tx = 13259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719924926757812 × 215)
    floor (0.719924926757812 × 32768)
    floor (23590.5)     		ty = 23590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13259 / 23590 ti = "15/13259/23590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13259/23590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13259 ÷ 215
    13259 ÷ 32768     		x = 0.404632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23590 ÷ 215
    23590 ÷ 32768     		y = 0.71990966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.19073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59921125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.4398193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.3817331946485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59921125} λ = -0.59921125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3817331946485))-π/2
    2×atan(0.251142896106125)-π/2
    2×0.246054040448675-π/2
    0.49210808089735-1.57079632675     		φ = -1.07868825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59921125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.332276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07868825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.804284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13259 KachelY 23590 -0.59921125 -1.07868825 -34.332276 -61.804284
    Oben rechts KachelX + 1 13260 KachelY 23590 -0.59901950 -1.07868825 -34.321289 -61.804284
    Unten links KachelX 13259 KachelY + 1 23591 -0.59921125 -1.07877884 -34.332276 -61.809475
    Unten rechts KachelX + 1 13260 KachelY + 1 23591 -0.59901950 -1.07877884 -34.321289 -61.809475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07868825--1.07877884) × R
    9.05900000001125e-05 × 6371000     		dl = 577.148890000717m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07868825--1.07877884) × R
    9.05900000001125e-05 × 6371000     		dr = 577.148890000717m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59921125--0.59901950) × cos(-1.07868825) × R
    0.000191749999999935 × 0.472484866490655 × 6371000     		do = 577.206057935798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59921125--0.59901950) × cos(-1.07877884) × R
    0.000191749999999935 × 0.472405024071651 × 6371000     		du = 577.108519302928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07868825)-sin(-1.07877884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472484866490655-0.472405024071651)×R²
    abs(-0.59901950--0.59921125)×7.98424190043834e-05×R²
    0.000191749999999935×7.98424190043834e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.98424190043834e-05×40589641000000     		ar = 333105.688710486m²