Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13258 / 3002
↖ ↑ ↗
← N 81.211497°
W 34.343262°		 ← 186.64 m → N 81.211497°
W 34.332276°		 →
↑
186.67 m
↓
↑
186.67 m
↓
N 81.209818°
W 34.343262°		 ← 186.68 m →
34 844 m²		 N 81.209818°
W 34.332276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404617309570312 y=0.0916290283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404617309570312 × 215)
    floor (0.404617309570312 × 32768)
    floor (13258.5)     		tx = 13258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0916290283203125 × 215)
    floor (0.0916290283203125 × 32768)
    floor (3002.5)     		ty = 3002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13258 / 3002 ti = "15/13258/3002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13258/3002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13258 ÷ 215
    13258 ÷ 32768     		x = 0.40460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3002 ÷ 215
    3002 ÷ 32768     		y = 0.09161376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59940299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09161376953125 × 2 - 1) × π
    0.8167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56596636286237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59940299} λ = -0.59940299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56596636286237))-π/2
    2×atan(13.0132277954404)-π/2
    2×1.49410216745763-π/2
    2.98820433491525-1.57079632675     		φ = 1.41740801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59940299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.343262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41740801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.211497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13258 KachelY 3002 -0.59940299 1.41740801 -34.343262 81.211497
    Oben rechts KachelX + 1 13259 KachelY 3002 -0.59921125 1.41740801 -34.332276 81.211497
    Unten links KachelX 13258 KachelY + 1 3003 -0.59940299 1.41737871 -34.343262 81.209818
    Unten rechts KachelX + 1 13259 KachelY + 1 3003 -0.59921125 1.41737871 -34.332276 81.209818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41740801-1.41737871) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dl = 186.670300000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41740801-1.41737871) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dr = 186.670300000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59940299--0.59921125) × cos(1.41740801) × R
    0.000191739999999996 × 0.152787537887045 × 6371000     		do = 186.641519099633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59940299--0.59921125) × cos(1.41737871) × R
    0.000191739999999996 × 0.152816493811895 × 6371000     		du = 186.676890949168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41740801)-sin(1.41737871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152787537887045-0.152816493811895)×R²
    abs(-0.59921125--0.59940299)×2.89559248497218e-05×R²
    0.000191739999999996×2.89559248497218e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.89559248497218e-05×40589641000000     		ar = 34843.7298021113m²