Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13258 / 23653
↖ ↑ ↗
← S 62.129572°
W 34.343262°		 ← 571.05 m → S 62.129572°
W 34.332276°		 →
↑
571.03 m
↓
↑
571.03 m
↓
S 62.134708°
W 34.343262°		 ← 570.96 m →
326 063 m²		 S 62.134708°
W 34.332276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404617309570312 y=0.721847534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404617309570312 × 215)
    floor (0.404617309570312 × 32768)
    floor (13258.5)     		tx = 13258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721847534179688 × 215)
    floor (0.721847534179688 × 32768)
    floor (23653.5)     		ty = 23653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13258 / 23653 ti = "15/13258/23653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13258/23653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13258 ÷ 215
    13258 ÷ 32768     		x = 0.40460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23653 ÷ 215
    23653 ÷ 32768     		y = 0.721832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59940299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.44366455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39381329335275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59940299} λ = -0.59940299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39381329335275))-π/2
    2×atan(0.248127316056189)-π/2
    2×0.243215361922719-π/2
    0.486430723845437-1.57079632675     		φ = -1.08436560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59940299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.343262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08436560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.129572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13258 KachelY 23653 -0.59940299 -1.08436560 -34.343262 -62.129572
    Oben rechts KachelX + 1 13259 KachelY 23653 -0.59921125 -1.08436560 -34.332276 -62.129572
    Unten links KachelX 13258 KachelY + 1 23654 -0.59940299 -1.08445523 -34.343262 -62.134708
    Unten rechts KachelX + 1 13259 KachelY + 1 23654 -0.59921125 -1.08445523 -34.332276 -62.134708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08436560--1.08445523) × R
    8.96300000001737e-05 × 6371000     		dl = 571.032730001107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08436560--1.08445523) × R
    8.96300000001737e-05 × 6371000     		dr = 571.032730001107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59940299--0.59921125) × cos(-1.08436560) × R
    0.000191739999999996 × 0.467473610011999 × 6371000     		do = 571.054327586145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59940299--0.59921125) × cos(-1.08445523) × R
    0.000191739999999996 × 0.467394374584534 × 6371000     		du = 570.957535526052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08436560)-sin(-1.08445523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467473610011999-0.467394374584534)×R²
    abs(-0.59921125--0.59940299)×7.92354274652962e-05×R²
    0.000191739999999996×7.92354274652962e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.92354274652962e-05×40589641000000     		ar = 326063.076161584m²