Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13257 / 25561
↖ ↑ ↗
← S 70.469881°
W 34.354248°		 ← 408.40 m → S 70.469881°
W 34.343262°		 →
↑
408.32 m
↓
↑
408.32 m
↓
S 70.473553°
W 34.354248°		 ← 408.32 m →
166 740 m²		 S 70.473553°
W 34.343262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404586791992188 y=0.780075073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404586791992188 × 215)
    floor (0.404586791992188 × 32768)
    floor (13257.5)     		tx = 13257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780075073242188 × 215)
    floor (0.780075073242188 × 32768)
    floor (25561.5)     		ty = 25561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13257 / 25561 ti = "15/13257/25561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13257/25561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13257 ÷ 215
    13257 ÷ 32768     		x = 0.404571533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25561 ÷ 215
    25561 ÷ 32768     		y = 0.780059814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404571533203125 × 2 - 1) × π
    -0.19085693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59959474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780059814453125 × 2 - 1) × π
    -0.56011962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75966771125302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59959474} λ = -0.59959474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75966771125302))-π/2
    2×atan(0.172102041894563)-π/2
    2×0.170432444217858-π/2
    0.340864888435717-1.57079632675     		φ = -1.22993144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59959474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.354248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22993144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.469881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13257 KachelY 25561 -0.59959474 -1.22993144 -34.354248 -70.469881
    Oben rechts KachelX + 1 13258 KachelY 25561 -0.59940299 -1.22993144 -34.343262 -70.469881
    Unten links KachelX 13257 KachelY + 1 25562 -0.59959474 -1.22999553 -34.354248 -70.473553
    Unten rechts KachelX + 1 13258 KachelY + 1 25562 -0.59940299 -1.22999553 -34.343262 -70.473553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22993144--1.22999553) × R
    6.40899999999611e-05 × 6371000     		dl = 408.317389999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22993144--1.22999553) × R
    6.40899999999611e-05 × 6371000     		dr = 408.317389999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59959474--0.59940299) × cos(-1.22993144) × R
    0.000191750000000046 × 0.334302343371175 × 6371000     		do = 408.396864029302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59959474--0.59940299) × cos(-1.22999553) × R
    0.000191750000000046 × 0.334241940046108 × 6371000     		du = 408.32307295657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22993144)-sin(-1.22999553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334302343371175-0.334241940046108)×R²
    abs(-0.59940299--0.59959474)×6.04033250665714e-05×R²
    0.000191750000000046×6.04033250665714e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.04033250665714e-05×40589641000000     		ar = 166740.476572418m²